2 D´ efinitions du produit scalaire de deux vecteurs du plan 2

Produit scalaire dans le plan

Table des mati` eres

1 Introduction 1

2 D´ efinitions du produit scalaire de deux vecteurs du plan 2

3 Propri´ et´ es du produit scalaire 3

4 Orthogonalit´ e 4

5 Formules par projection 4

5.1 Projection orthogonale . . . . 4

5.2 Formule du cosinus . . . . 5

6 Applications 6 6.1 Equations de droites et de cercles . . . . 6

6.1.1 Droites : . . . . 6

6.1.2 Le cercle . . . . 6

6.2 Relations m´etriques et trigonom´etriques dans le triangle . . . . 7

6.3 Formule de duplication . . . . 7 Section 1

Introduction

On consid`ere un triangle ABC. On appelle A b l’angle BAC \ . On pose p = AC <sup>2</sup> + AB <sup>2</sup> − BC <sup>2</sup> . On sait que lorsque l’angle A b est droit alors p = 0. La r´eciproque du th´eor`eme de Pythagore affirme que p est non nul si le triangle ABC n’est pas rectangle en A. L’id´ee est de g´en´eraliser le th´eor`eme de Pythagore ` a n’importe quel triangle et d’exprimer une relation entre les longueurs

des cˆ ot´es de ce triangle. ×

×

× A

B

C

Dans la suite on consid`ere deux vecteurs − → u et − → v .Il existe alors des points A, B et C tels que :

−

→ u = −→ AC et − → v = −−→ AB On remarque alors que :

−

→ u − − → v = −→ AC − −−→ AB = −→ AC + −−→ BA = −−→ BC et que −→ AC

= AC, −−→ AB

= AB puis k− → u − − → v k = BC.

Section 2

D´ efinitions du produit scalaire de deux vecteurs du plan

On appelle produit scalaire des vecteurs − → u et − → v ,not´e − → u . − → v , le nombre :

−

→ u . − → v = 1

2 ( k− → u k ² + k− → v k ² − k− → u − − → v k ² ) D´ efinition

Le produit scalaire n’est pas une op´eration interne ; le produit de deux vecteurs est un nombre.

Le produit scalaire ^≪ corrige ^≫ le d´efaut d’orthogonalit´e ; la d´efinition donne avec les points A, B et C :

BC ² = AC ² + AB ² + 2 −→ AC. −−→ AB

C’est le nombre qu’il faut ajouter dans l’´egalit´e de Pythagore pour l’exprimer dans n’importe quel triangle, rectangle ou non.

Exemple 1 On consid`ere les points A(1, − 1), B(3, − 4) et C(4, 6) dans un rep`ere orthonorm´e du plan.Calculons le produit scalaire −−→ AB. −→

AC.

Pour cela d´eterminons d’abord les coordonn´ees des vecteurs −−→ AB et −→ AC puis leur norme.On a :

−−→ AB 2

− 3

puis −−→ AB = p

2 ² + ( − 3) ² = √ 13.

−→ AC 3

7

puis −→ AC = √

3 ² + 7 ² = √ 58.

Enfin, −−→ AB − −→ AC = −−→ CB donc −−→ CB − 1

− 10

puis −−→ BC = p

( − 1) ² + ( − 10) ² = √ 101.

Donc d’apr`es la d´efinition ci-dessus,

−−→ AB. −→ AC = 1

2 ( −−→ AB ² + −→ AC ² − −−→ AB − −→ AC ² ) = 1

2 (13 + 58 − 101) = − 15

Dans une base orthonorm´ ee du plan, on consid`ere les vecteurs − → u x

y

et − → v x ^′

y ^′

. Alors :

−

→ u . − → v = x × x ^′ + y × y ^′ D´ efinition

Il suffit de calculer les normes des vecteurs donn´es dans la d´efinition pour obtenir le r´esultat.

C’est l’expression analytique du produit scalaire et sˆ urement la plus simple ` a utiliser.En reprenant l’exemple pr´ec´edent avec −−→ AB

2

− 3

et −→ AC 3

7

, on a :

−−→ AB. −→ AC = 2 × 3 + ( − 3) × 7 = 6 − 21 = − 15

Section 3

Propri´ et´ es du produit scalaire

−

→ u , − → v et − → w d´esignent trois vecteurs quelconques du plan et λ un nombre quelconque.

−

→ u . − → v = − → v . − → u Sym´ etrie

L’ordre n’est donc pas important.La d´emonstration repose sur le fait que deux vecteurs oppos´es ont la mˆeme norme.

(λ − → u ). − → v = λ − → u . − → v et − → u .( − → v + − → w ) = − → u . − → v + − → u . − → w . Bilin´ earit´ e

La sym´etrie induit naturellement les ´egalit´es :

−

→ u .(λ − → v ) = λ − → u . − → v et ( − → v + − → w ). − → u = − → v . − → u + − → w . − → u .

Outre ces formules sauvages, c’est leur mise en oeuvre qui est importante, r´esum´ee dans l’exemple suivant.

Exemple 2 Reprenons les donn´ees de l’exemple pr´ec´edent. Ais´ement on montre que :

−−→ AB. −→ AC = − 15 , −−→ AB. −−→ BC = − 28 et −→ AC. −−→ BC = 73

Alors on peut en d´eduire les produits suivants :

— (2 −−→ AB).(3 −→ AC) = 2 × 3 × −−→ AB. −→ AC = 6 × ( − 15) = − 90

— −−→ AB.( −→ AC + −−→ BC) = −−→ AB. −→ AC + −−→ AB. −−→ BC = − 15 + ( − 28) = − 43

— −→ AC.(4 −−→ AB − 2 −−→ BC ) = 4 × −→ AC. −−→ AB − 2 × −→ AC. −−→ BC = 4 × ( − 15) − 2 × 73 = − 206

Si les vecteurs − → u et − → v sont colin´eaires alors

−

→ u . − → v = k− → u k . k− → v k si les deux vecteurs ont le mˆeme sens

−

→ u . − → v = − k u k . k v k si les deux vecteurs sont de sens contraire Colin´ earit´ e

Exercice 1 D´eterminer le produit scalaire de − → u par − → v dans les deux cas suivants :

b

A

b

B

u ^b

C

b

D

v

b

A

b

B

u

b

C

b

D

v

Section 4

Orthogonalit´ e

Les vecteurs − → u et − → v sont orthogonaux si et seulement si ils d´esignent des directions perpendiculaires.

D´ efinition

Exemple 3 Les vecteurs suivants sont orthogonaux car ils d´esignent des directions perpendiculaires :

−

→ u

−

→ v

−

→ u

−

→ v

Dans une rep`ere orthonorm´e, les vecteurs − → u

x y

et − → v x ^′

y ^′

sont orthogonaux si et seulement si x × x ^′ + y × y ^′ = 0 Caract´ erisation analytique de l’orthogonalit´ e

Exercice 2 Soit A(2; 8) et B( − 1; 3). Donner une condition sur les coordonn´ees (x; y) d’un point M pour qu’il se situe sur la perpendiculaire ` a (AB) passant par A.

Section 5

Formules par projection

5.1 Projection orthogonale

Soit − → u et − → v deux vecteurs du plan.Les illustrations ci-dessous illustrent la projection orthogonale d’un vecteur sur un autre :

b

A

b

B u

b

C v

b

C ^′

b

A

b

B u

b

C

b

v

B ^′

On a alors le r´esultat suivant :

Le produit scalaire − → u . − → v est ´egal ` a − → u . − → v <sup>′</sup> ,o` u − →

v ^′ est le projet´e orthogonale de − → v sur − → u . Projection orthogonale

Remarques :

— Par sym´etrie, on peut aussi projet´e orthogonalement − → u sur − → v , pour obtenir le mˆeme r´esultat.

— On se ram`ene alors au produit scalaire de deux vecteurs colin´eaires.

D´emontrons ` a titre d’exercice, ce dernier r´esultat.

−−→ AB. −→ AC = −−→

AB.( −−→

AC ^′ + −−→

C ^′ C) = −−→ AB. −−→

AC ^′ + −−→ AB. −−→

C ^′ C Or ce dernier produit −−→ AB. −−→

C ^′ C est nul car les vecteurs −−→ AB et −−→

C ^′ C sont par construction, orthogonaux.D’o` u :

−−→ AB. −→ AC = −−→ AB. −−→

AC ^′ = AB × AC ^′ car ces deux derniers vecteurs sont colin´eaires et de mˆeme sens ici.

5.2 Formule du cosinus

Cette formule est une cons´equence directe du dernier r´esultat.

Soit les vecteurs − → u et − → v et θ l’angle orient´e ( − → u , ˆ − → v ). Alors :

−

→ u . − → v = k− → u k × k− → v k × cosθ Formule du cosinus

L’´egalit´e − →

v ^′ = k− → v k cosθ justifie cette relation.

Exercice 3 On consid`ere les points A(5; 2), B(0; − 1) et C(1; 3). L’objectif est le calcul approch´e de l’angle α = ˆ

( −−→ BA, −−→ BC).

❶ D´eterminer les coordonn´ees des vecteurs −−→ BA et −−→ BC. En d´eduire la valeur de −−→ BA. −−→ BC.

❷ D´eterminer les normes des vecteurs −−→ BA et −−→ BC.En d´eduire la valeur exacte de cosα.

❸ En d´eduire une valeur approch´ee de α.

Section 6

Applications

6.1 Equations de droites et de cercles 6.1.1 Droites :

On appelle vecteur normal ` a une droite d tout vecteur dont la direction est perpendiculaire ` a celle de la droite.

On rappelle que toute droite du plan admet une ´equation cart´esienne de la forme :

ax + by + c = 0

o` u a, b et c sont trois nombres qui caract´erisent la droite.On a alors le r´esultat suivant :

Le vecteur − → n de coordonn´ees a

b

est un vecteur normal ` a la droite d’´equation ax + by + c = 0 et r´eciproquement.

Vecteur normal

On rappelle que le vecteur − → v de coordonn´ees − b

a

est un vecteur directeur de la mˆeme droite. On peut remarquer que le produit scalaire des vecteurs − → n et − → v est ´evidemment nul...

Exercice 4 D´eterminer l’´equation cart´esienne de la droite d de vecteur normal 1

4

et passant par le point A( − 1, 3).

6.1.2 Le cercle

Soit M(x; y) et le cercle de centre Ω(x _Ω ; y _Ω ) et de rayon r. ‘Quelle condition doivent r´eunir les coordonn´ees x et y pour que M appartienne ` a ce cercle ?

La relation ΩM = r donne :

(x − x _Ω ) ² + (y − y _Ω ) ² = r ² appel´ee ´ equation cart´ esienne du cercle de centre Ω et de rayon r.

Exercice 5 Soit C le cercle de centre A(2; 1) et de rayon r = 5.

❶ D´eterminer l’´equation cart´esienne de ce cercle.

❷ Prouver que le point C(6; 4) appartient ` a ce cercle.

❸ D´eterminer l’´equation cart´esienne de la tangente ` a C passant par C.

❹ D´eterminer les coordonn´ees des points d’intersection de C avec la droite D d’´equation x + 2y − 9 = 0.

6.2 Relations m´ etriques et trigonom´ etriques dans le triangle

On consid`ere un triangle ABC. On appelle a la longueur BC et A b l’angle \ BAC, puis b la longueur AC,... Alors :

AB ² = −−→ AB. −−→ AB = ( −→ AC + −−→

CB).( −→ AC + −−→

CB) = −→ AC. −→ AC + −−→ BC. −−→ BC + 2 × −→ AC. −−→ CB Mais :

−→ AC. −−→ CB = − −→ CA. −−→ CB = − CA × CB × cos C. b D’o` u avec les notations d´efinies ci-dessus :

a ² = b ² + c ² − 2bccos A b b ² = c ² + a ² − 2cacos B b c ² = a ² + b ² − 2abcos C b

A b

b B

C b

b

A

b

B

b

C

c

a b

Formules d’Al-Kashi

Exercice 6 Soit A et B deux points et I leur milieu. Soit M un point quelconque du plan.

❶ Justifier que M I ² = −−→ M I. −−→ M I.

❷ Prouver que M A ² + M B ² = 2M I ² + IA ² + IB ² + 2 −−→ M I.( −→ IA + −→ IB)

❸ En d´eduire la relation M A ² + M B ² = 2M I ² + 1 2 AB ² .

❹ De la mˆeme fa¸con, que peut-on dire de M A ² − M B ² ?

6.3 Formule de duplication

cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b Cosinus d’une somme

Consid´erons les points A et B du cercle trigonom´etrique rep´er´es respectivement par a et b.

D’une part,

−→ OA. −−→ OB = OB × OA × cos ( −→ OA, \ −−→ OB ) = cos (b − a) et d’autre part,

−→ OA. −−→ OB = cos a × cos b + sin a × sin b D’o` u l’´egalit´e :

cos (b − a) = cos a × cos b + sin a × sin b

En posant A = − a et B = b dans cette ´egalit´e et en utilisant le s propri´et´es du cosinus et du sinus, on obtient :

cos (A + B) = cos A × cos B + sin A × sin B