• Aucun résultat trouvé

Un exemple en dimension 2

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Un exemple en dimension 2"

Copied!
6
0
0

Texte intégral

(1)

UN PROBLÈME AUX LIMITES : analyse et approximation

Un exemple en dimension 2

Nous considérons ici un problème un peu plus général que le problème de la membrane introduit à la séance 3. Soit Ω un domaine du plan dont le bordΓ est supposé polygonal. k, c, λsont des constantes réelles,q(x)etu0 des fonctions continues définies surΩ.

SoitWhest l’espace des fonctions continues affines par morceaux sur un maillage en triangles deΩ; on considère le problème

−k∆u+cu=q

u=u0 sur Γ (1)

Soit

U0 ={v∈C2(Ω)/ v|Γ=u0} et

V0={v∈C1(Ω)/ v|Γ= 0}

Soit

a(u, v) = Z

kGraduGradv dΩ + Z

c u v dΩ (2)

L(v) = Z

q v dΩ (3)

Question 1

Formulation faible

Montrer l’équivalence du problème (1) et de la formulation faible u∈U0

∀v∈V0 a(u, v) =L(v) (4)

Dans le cas de la membrane les positions des nœuds du bord étaient connues et nulles (u= 0), ce qui fait queuetvétait dans le même espace ce qui n’est plus le cas avec des conditions non homogènes.

Question 2

(2)

On considère un maillage du domaineΩen triangles et on note :

−Whl’espace des fonctions continues affines par morceaux sur ce maillage.

−Uh ⊂Wh ={v∈Wh/ v|Γ=u0}(ou plutôt une approximation affine par morceaux deu0).

−Vh ⊂Wh={v∈Wh/ v|Γ = 0}

On définit une solution approchéeVh solution du problème u∈Uh

∀v∈Vh a(uh, v) =L(v) (5)

•Rappeler les principes de construction du système : K U=F qui détermineuh.

Question 3

Un calcul à la main

On suppose icic= 0. Soit un triangle rectangle isocèle de sommet(1,2,3)et de côtéh(fig. 1).

•Dessiner les graphes des fonctions de base restreintes à ce triangle.

1

2 3

FIG. 1 – Un triangle élémentaire

On poseSe = Surface(Ωe), montrer que les coefficients de la matrice de raideur élémentaire de ce triangle pour deux sommetsietjsont1:

Ke,i,j =k SeGradwi.Gradwj En déduire :

Ke= k 2

1 −1 0

−1 2 −1 0 −1 1

 (6)

1En remarquant que le gradient d’une fonction affine est constant

(3)

1 2

4 3

FIG. 2 – Un maillage simple Question 4

•On suppose encorec= 0. Pour le maillage de la figure 2, dessiner le support des fonctions de base et identifier les triangles qui contribuent à un élément de la matrice.

•En remarquant que la matrice élémentaire d’un triangle ne dépend que de sa forme, montrer que :

K=k

4 −1 0 −1

−1 4 −1 0

0 −1 4 −1

−1 0 −1 4

(7)

(Remarquer qu’en dimension 2 la matrice ne dépend pas deh, maish2figure dans les coefficients du second membre). Vérifier que l’on retrouve ici, pour un maillage régulier, les mêmes équations que par la méthode des différences finies.

Question 5

Un programme de calcul

Le maillage comportenpnœuds, dontnbsur le bord, etneéléments. Contrairement aux exemples des séances précédentes, la numérotation ne distingue pas les nœuds du bord des nœuds intérieurs.

On utilise la structure suivante des données du maillage : – le tableau ELEM(ne,3) définit les nœuds des éléments.

– le tableau Q(np,1) définit la valeur de la fonctionqaux nœuds.

– le tableau COORD(np,2) définit les coordonnées des nœuds.

– le tableau FIX(nb) définit les “nb” nœuds du bord qui sont surΓ.

Le système linéaireK U=Fa pour dimension le nombre de nœuds intérieurnp−nbet il faut faire un traitement spécial pour les nœuds du bord. Le plus simple est de calculer un système plus grand de dimensionnpsans faire de traitement particulier pour les nœuds du bord, puis de “neutraliser” les équations correspondant à ces nœuds en les remplaçant par l’équation trivialeui =u0(xi).

Le calcul se fait alors en deux temps :

(4)

contributions des matrices de raideur élémentaires sans tenir compte des nœuds du bord, c’est l’assemblage.

– On fait une boucle sur les nœuds du bord et pour chaque nœuds on met1sur la diagonale et on annule les termes non diagonaux des lignes et des colonnes correspopndantes.

Pour assembler la matrice on assemble d’abord les contributions des intégrales des gradients puis celle provenant deR

cuv dΩ.

Le programme ci-dessous (écrit dans le langage de SciLab) calcule les termes de la matriceKprove- nant deR

cuv dΩ. Pour cela le programme calcule les intégrales

Z

cwiwj :dΩ (8)

par une boucle sur les triangles, les calculs sur un triangle étant faits par la formule d’intégration (exacte pour les polynômes de degré 2)

Z

Te

f(x)dΩ = Se 3

3

X

i=1

f(mi)

où lesmisont les les milieux des côtés du triangleTe. Ke(i, j) =

Z

Te

cwiwjdΩ =cSe

3

3

X

l=1

wi(ml)wj(ml)

C’est à direKe(i, j) = cS12e sii6=jetKe(i, i) = cS6e

function Ke = Raideur_elem(NOEUD,COORD);

% contribution d’un triangle à la matrice de raideur K global c

for i = 1:3,

X(i) = COORD(NOEUD(i),1);

Y(i) = COORD(NOEUD(i),2); % coordonnées des sommets end;

Se = abs((X(2)-X(1))*(Y(3)-Y(1)) - (X(3)-X(1))*(Y(2)-Y(1)))/2;

aux = c *Se/12; % application de la formule d’intégration for i = 1:3

for j=1:3

if i == j, Ke(i,j) = 2*aux;

else Ke(i,j) = aux;

end;

end;

function K = Assemblage(ELEM,COORD);

ne = size(ELEM,1);

np = size(COOR,1);

(5)

K = zeros(np,np);

for e = 1:ne,

for i=1:3, % i : numérotation locale

NOEUD(i) = ELEM(e,i); % NOEUD : numérotation globale end;

Ke = Raideur_elem(NOEUD,COORD);

for i=1:3,

lig = NOEUD(i);

for j=1:3,

col = NOEUD(j);

K(lig,col) = K(lig,col) + Ke(i,j);

end;

end;

end;

En pratique il est préférable d’initialiser K à 0 hors de cette fonction pour pouvoir assembler différentes contributions.

• Soit un domaineΩcarré, découpé en 4 triangles rectangles isocèles à partir de son centre. On a doncne= 4,np= 5, préciser les tableaux COORD et ELEM .

•Faire “tourner” à la main le programme ci-dessus sur cet exemple.

•Écrire un programme de calcul des matrices de raideur élémentaire associées au terme Z

kGradu .Gradv dΩ

•Écrire un programme de calcul des termes du second membreFassociés àR

qv dΩ.

Remarque

Remarquer l’extrême généralité d’un programme pourtant très simple, mais très bien structuré.

Dans un logiciel d’éléments finis, il suffit de définir les contours de la membrane, la constante de tension k et la densité de forcef(x); le logiciel crée automatiquement le maillage en triangles et il exécute le programme ci-dessus pour calculer les coefficients du système linéaire (représentés de manière condensée), puis il résout ce système, en général par méthode de Gauss-Cholesky. On peut ensuite visualiser la déformée.

(6)

Références

Documents relatifs

On désigne par x le salaire d'un employé en décembre 1998 et par y son salaire en janvier 1999. la figure 2 image du triangle 1 par la symétrie de centre O,. la figure 3 image

a - Ecrire un programme pour afficher un d´ egrad´ e de couleur entre les couleurs rouge et verte : chaque point de coordonn´ ees (x, y) devra avoir une intensit´ e de couleur rouge

"Possédant initialement un couple de lapins, combien de couples obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de

[r]

Le cercle de centre D et de rayon DA coupe la droite [BC] en un point P du même côté que B par rapport à D.. Le cercle circonscrit au triangle AEP coupe la droite [BC] en un

Sur un immense plateau percé de trous formant un quadrillage régulier, on place quatre fichets aux sommets d’un carré. Chaque fichet peut sauter par-dessus l’un quelconque des

Nota : au jeu d’échecs une Dame contrôle toutes les cases de la ligne horizontale, de la ligne verticale et de la ou des deux diagonale(s) à 45° qui passent par la case

consiste en ce que les forces concourantes, normales aux faces tfun polyèdre fermé et proportionnelles aux superficies de ces faces, forment un système en équi- libre. Car