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D1847. Du plus simple au plus complexe

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Academic year: 2022

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D1847. Du plus simple au plus complexe

Probl`emeno1

Les pointsA,B,Det E sont co-cycliques sur le cercle de diam`etreAD.

L’inversion de centreA et de rayonAB ´echange ce cercle avec la droite BC.

Donc :

AC AE =AB2

B,C etEsont co-cycliques sur le cercle de centreF sur la m´ediatrice deBC.

F B=F E =F C

Le triangleBF E est isoc`ele.

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Probl`emeno2

Γ : cercle (ABC) de centreO Ψ : cercle (AP E) de centreM

∆ : la bissectrice deBAC\

La m´ediatrice deAP passe parM etD La m´ediatrice deARpasse parM etO La m´ediatrice deAI passe parO La m´ediatrice deAE passe parM

Comme OD = IE, la m´ediatrice de OD passe par M, et donc OM D est isoc`ele enM. Il en r´esulte queAP et ARsont sym´etriques par rapport `a ∆.

La parall`ele `a BC passant parRrecoupe ΓenR0 : les arcsBR0 etCR sont

´

egaux, et on a

P AB\ =CAR\ =R\0RB =QRB\ =CRQ\

⇒ QRest tangent `aΓ enR

P.S. La bissectrice de BQC\ passe parI sur Γ et par le sym´etrique E0 de E par rapport `a la m´ediatrice deP Q :

R00 = RR0 ∩ Ψ ⇒ R00E0 et RE0 sont sym´etriques par rapport `a la m´ediatrice deP Q.

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