D1847. Du plus simple au plus complexe
Probl`emeno1
Les pointsA,B,Det E sont co-cycliques sur le cercle de diam`etreAD.
L’inversion de centreA et de rayonAB ´echange ce cercle avec la droite BC.
Donc :
AC AE =AB2
B,C etEsont co-cycliques sur le cercle de centreF sur la m´ediatrice deBC.
F B=F E =F C
Le triangleBF E est isoc`ele.
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Probl`emeno2
Γ : cercle (ABC) de centreO Ψ : cercle (AP E) de centreM
∆ : la bissectrice deBAC\
La m´ediatrice deAP passe parM etD La m´ediatrice deARpasse parM etO La m´ediatrice deAI passe parO La m´ediatrice deAE passe parM
Comme OD = IE, la m´ediatrice de OD passe par M, et donc OM D est isoc`ele enM. Il en r´esulte queAP et ARsont sym´etriques par rapport `a ∆.
La parall`ele `a BC passant parRrecoupe ΓenR0 : les arcsBR0 etCR sont
´
egaux, et on a
P AB\ =CAR\ =R\0RB =QRB\ =CRQ\
⇒ QRest tangent `aΓ enR
P.S. La bissectrice de BQC\ passe parI sur Γ et par le sym´etrique E0 de E par rapport `a la m´ediatrice deP Q :
R00 = RR0 ∩ Ψ ⇒ R00E0 et RE0 sont sym´etriques par rapport `a la m´ediatrice deP Q.
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