D1847. Du plus simple au plus complexe ****
Problème n°1 (Grande-Bretagne)
Soit un triangle ABC. La perpendiculaire en B au côté AB coupe respectivement aux points D et F la hauteur issue de A et la médiatrice du côté BC. Le point D se projette en E sur le côté AC.
Démontrer que le triangle BFE est isocèle.
Problème n°2 (Chine)
On trace une triangle ABC (AB < AC), son cercle circonscrit (Γ) de centre O et la bissectrice intérieure (Δ) de l’angle en A. La parallèle passant par O à (Δ) coupe la droite [BC] au point D et la perpendiculaire en D à cette même droite [BC] coupe (Δ) en E. Le cercle de centre D et de rayon DA coupe la droite [BC] en un point P du même côté que B par rapport à D. Le cercle circonscrit au triangle AEP coupe la droite [BC] en un deuxième point Q et le cercle (Γ) en un deuxième point R.
Démontrer que la droite QR est tangente au cercle (Γ).
PROPOSITION
Th EveilleauProblème n°1
Les angles
et
étant droits, on déduit que les quatre points A, B, D et A sont inscriptibles dans un cercle (C).
Il s’ensuit que les angles inscrits
et
inscrits dans ce cercle (C) sont de même mesure.
Donc
=
(*)
Les deux angles
et
ont leurs côtés orthogonaux d’où
=
(**)
On déduit de (*) et (**) que
=
(***)
Considérons maintenant le cercle circonscrit au triangle BCE.
Nous allons montrer que son centre est le point F.
Le triangle BFC est isocèle puisque F est sur la médiatrice de [BC].
Si M est le milieu de [BC], nous avons :
Donc
= 2*
Mais
=
=>
= 2*
Et avec la relation (***) il s’ensuit
= 2
Le point F étant sur la médiatrice de [CB]
nous avons FB=FC
De ces deux derniers résultats, nous pouvons affirmer que
-
est un angle au centre de valeur double de - angle inscrit dans le cercle circonscrit au triangle BCE.
Finalement, F est le centre du cercle circonscrit au triangle BCE. Et
FE = FB => le triangle BFE est isocèle.
CQFD.
Remarque
La droite (AB) est tangente à ce cercle en B.
Problème n°2
Quelques observations…
On peut observer que la diagonale OE du parallélogramme DOTE est parallèle à (QR).
