D1886– Une enveloppe pour deux lieux [*** à la main]
Problème proposé par Dominique Roux
Un angle de grandeur constante et de sommet A coupe une droite donnée en deux points B et C 1) Quelle est l'enveloppe du cercle (ABC) ?
2) Quel est le lieu du centre de ce cercle ?
3) Quel est le lieu du centre du cercle inscrit dans le triangle ABC ?
Solution proposée par l’auteur 1)
2)
3)
Traçons la perpendiculaire à BC menée de A. Soit D la projection. Sur AD prenons un point quelconque E. Le cercle de diamètre AE coupe AB et AC en F et G.
Puisque l’angle en A est constant, la corde FG est de longueur constante. Donc FG enveloppe un cercle (γ) dont le centre est le milieu de AE.
Considérons l’inversion de pôle A de puissance AE*AD.
Le cercle de diamètre AE devient la droite (BC), F devient B,G devient C. Donc le cercle (ABC) devient la droite (FG). Puisque celle-ci enveloppe le cercle (γ),son inverse le cercle (ABC) enveloppe le cercle (Γ) centré sur AD.
Du centre O de (ABC) menons la perpendiculaire OH à BC. Dans le triangle BOH l’angle en O est égal à l’angle en A de ABC car l’angle au centre
BOC est le double de l’angle inscrit BAC.
Donc OB/OH = 1/cos(BAC) = constante.
Or OB = OA. Donc O décrit le lieu des points dont le rapport des distances au point A et à la droite (BC) est constant : c’est l’hyperbole de foyer A ,de directrice (BC) et d’excentricité 1/cos(BAC).
L’autre foyer A’ est sur AD. Le cercle (ABC) est tangent au cercle directeur de centre A’.
Pour le centre I du cercle inscrit qui se projette en K sur BC, on a IA/IK =1/ sin(BAC/2) ) = constante.
Donc I décrit l’arc d’hyperbole de foyer A, de directrice BC et d’excentricité 1/sin(BAC/2).
