les deux cercles de centre C et de rayons a et b qui coupent respectivement la droite CA au point T ( T entre A et C) et la droite BC au point U ( B entre U et C)

D1836. Aux couleurs belges

Soit un triangle acutangle ABC (A,B et C dans le sens trigonométrique) tel que AB = c < BC = a < CA = b. Les points O et I sont respectivement le centre du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit.

On trace:

- les deux cercles de centre A et de rayons b et c qui coupent respectivement la droite AB au point P ( B entre A et P) et la droite CA au point Q ( Q entre A et C),

- les deux cercles de centre B et de rayons c et a qui coupent respectivement la droite BC au point R ( A entre B et R) et la droite AB au point S ( S entre B et C),

- les deux cercles de centre C et de rayons a et b qui coupent respectivement la droite CA au point T ( T entre A et C) et la droite BC au point U ( B entre U et C).

Q₁ Démontrer que les trois droites aux couleurs belges, PU en noir, RT en jaune et SQ en rouge sont parallèles entre elles et qu'elles sont perpendiculaires à la droite OI.

Q₂ On suppose que OI = QS. Déterminer l'angle en C.

Solution proposée par Maurice Bauval :

Q1) On suppose que le cercle circonscrit est le cercle unité.Les affixes des points A,B,C sont désignées par a², b², c². Les arguments des nombres a, b, c sont choisis pour que les affixes des points où les bissectrices des angles A, B, C coupent le cercle soient –bc, –ca, –ab,. L'affixe de I est –bc –ca –ab.

Prérequis : La symétrie orthogonale par rapport à la droite joignant deux points M(m) et N(n) du cercle unité s'exprime par z→m+n – mn _̄z et, si module de z = 1, par z→ m+n – mn/z .

On trouve alors les affixes de U et P : u = c² – ab + abc²/a² et p = a² – bc + a²bc/c²

Puis l'affixe du vecteur PU : c² – ab +bc²/a – a² + bc – a²b/c = –(ab+bc+ca)(a – c)(a+c)/(ac).

Aff(Vect PU)/Aff(VectOI) = (a² – c²)/(ac)

Comparons ce nombre (a² – c²)/(ac) et son conjugué [1/a² – 1/c²]/[1/ac ] = – (a² – c²)/(ac)

Si le conjugué d'un nombre complexe est égal à son opposé, il est imaginaire pur. Donc PU ┴ OI.

De même PU, TR, SQ sont tous perpendiculaires à OI,

Les trois droites aux couleurs belges, PU en noir, RT en jaune et SQ en rouge sont parallèles . Q2) q = a² – bc + a²c/b s = b² – ac + b²c/a

q – s = (ab+bc+ca)(a² – b²)/(ab) = (ab+bc+ca)[a/b – b/a]

( OI = QS ) ↔ (module de a/b – b/a = 1) ↔ (a/b – b/a)(b/a– a/b) = 1 ↔ (a/b – b/a)² + 1 = 0 ( OI = QS ) ↔ a⁴ – a ²b² + b⁴ = 0 ↔ (a²+jb²)(a²+b²/j) = 0 ↔ AÔB = +60°. (angle au centre ) Si OI = QS, l'angle en C vaut 30°. (angle inscrit )