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c/(a+b) donc BM = ac/(a+b) et en échangeant b et c , CL = ab/(a+c) BC = BM + CL se traduit par a = ac/(a+b

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Academic year: 2022

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D1928. La saga de l'angle de 60° (7ème épisode) Problème proposé par Dominique Roux

Soit un triangle ABC acutangle .Les bissectrices intérieures des angles en B et en C coupent respectivement AC en L et AB en M. Démontrer que l’angle en A est égal à 60° si et seulement si BC = BM + CL.

Les 3 côtés ont pour longueurs : AB=c BC=a CA=b.

Le point M partage AB en deux segments MB et MA de longueurs proportionnelles à CB et CA.

MB/a = MA/b = AB/(a+b) = c/(a+b) donc BM = ac/(a+b) et en échangeant b et c , CL = ab/(a+c) BC = BM + CL se traduit par a = ac/(a+b) + ab/(a+c), c/(a+b)+b/(a+c) = 1.

c(a+c) + b(a+b) =(a+c)(a+b), c² + ac + b² + ab = a² + ab + ac + bc. b² + c² - bc = a² or a² = b² + c² – 2bc cos A. BC = BM + CL équivaut à cos A = ½ donc à A = 60°

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