UNIVERSITE MOHAMMED V FACULTE DES SCIENCES
LS3ME- CHIMIE THEORIQUE ET MODELISATION RABAT
ANNEE 2020-2021
TRAVAUX DIRIGES DE CHIMIE THEORIQUE SMC5
PREMIERE SERIE: LES OPERATEURS
I- VALEURS PROPRES ET FONCTIONS PROPRES 1- Quelles sont,parmi les fonctions suivantes : eax; eax2; x; x2; ax+b; sinx
celles qui sont fonctions propres de :
a) d/dx b) d2/dx2:
2- démontrer que l’opérateur projection du moment cinétique Lz:
Lz=(ħ/i)d/dφ
est hermitique
indication : considérer deux fonctions k* et l et retrouver la relation d’hermiticité. On attire votre attention sur le fait que k* et l étant de carré sommable : [k*l ]espace = [k*l ] 02 =0
II- COMMUTATION D'OPERATEURS-COMMUTATEURS Propriétés générales des commutateurs. Démontrer que:
a) Sommes:
[A,B]=-[B,A] antisymétrie [A,(B+C)]=[A,B]+[A,C] distributivité
[(A+B),(C+D)]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]
B ) Produits:
[A,BC]=[A,B] C+B[ A,C]
[BC,A]=B[C,A]+[B,A] C
[AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B [Am,An]=0 m et n
b) Trouver le commutateur des opérateurs suivants:
[x,y] ; [px,py] ; [x,px] ; [x2,px] ; [xn,px] ; [xpy-ypx,ypz-zpy]
d) L'opérateur e A a une signification si on le développe en série:
e A= ∑n (1/n!) An
Montrer que si |a> est un vecteur propre de  avec la valeur propre a ,alors il est aussi vecteur propre de
e A.
III-OPERATEURS HERMITIQUES
Soit A un opérateur hermitique non dégénéré. Montrer que:
- les valeurs propres de cet opérateur sont réelles,
- les fonctions propres de cet opérateur sont orthogonales,
- si deux opérateurs hermitiques non dégénérés commutent, ils ont un système commun de fonctions propres.
