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Soit a et b deux entiers. On note d = ∧ a b et m a b = ∨ . Déterminer ( ) a b + ∧ m .

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

PanaMaths Janvier 2010

Soit a et b deux entiers. On note d = ∧ a b et m a b = ∨ . Déterminer ( ) a b + ∧ m .

Analyse

Un exercice assez court faisant appel à un résultat très classique : si deux entiers sont premiers entre eux alors leur somme et leur produit le sont également. Le théorème de Bezout est utilisé à maintes reprises …

Résolution

On a : a= ×d a' et b= ×d b' avec 'a∧ =b' 1. D’où : a b+ = × + × = ×d a' d b' d

(

a'+b'

)

. Par ailleurs : m= × ×d a' b'.

On a donc :

(

a b+ ∧ =

)

m d×

(

a'+b'

)

∧ × ×

[

d a' b'

]

=d

(

a'+b'

) (

a'×b'

)

Nous allons montrer le résultat (classique) :

(

a'+b'

) (

a'×b'

)

=1.

Les entiers 'a et 'b étant premiers entre eux, le théorème de Bezout nous permet d’affirmer qu’il existe deux entiers u et v tels que : u a× + × =' v b' 1.

On en déduit alors :

( )

' ' ' ' 1

u a× + ×v a+b − × =v a , soit :

(

u− × + ×v

)

a' v

(

a'+b'

)

=1 (1)

Et, de façon analogue :

(

' '

)

' ' 1

u× a +b − × + × =u b v b , soit : u×

(

a'+b'

) (

+ − × =v u

)

b' 1 (2)

Les égalités (1) et (2) et le théorème de Bezout nous permettent alors respectivement de conclure que :

a'+b' et 'a sont premiers entre eux ;

a'+b' et 'b sont premiers entre eux.

En multipliant membre à membre les égalités (1) et (2), il vient :

(2)

PanaMaths Janvier 2010

(

u− × + ×v

)

a' v

(

a'+b'

)

u×

(

a'+b'

) (

+ − ×v u

)

b' = ×1 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Soit :

(

u− × × + × ×v

)

u a' v u

(

a'+b'

)

+ × − ×v

(

v u

)

b' ×

(

a'+b'

) (

uv

)

2× × =a' b' 1

⎡ ⎤

⎣ ⎦

Le théorème de Bezout (encore une fois !) nous permet donc de conclure que 'a +b' et 'a×b' sont premiers entre eux (résultat classique à retenir ou savoir retrouver très vite).

Finalement :

(

a b+ ∧ = = ∧

)

m d a b

Résultat final

Quels que soient les entiers a et b, on a :

( ( ) ) ( )

pgcd a b+ , ppcm a b, =p gcd a b,

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