Année universitaire 2011-2012 Licence 3 de mathématiques
Algorithmique algébrique 1 - Feuille 1
Exercice 1
Soient a et n deux entiers ≥2.
a. Soit b un entier ≥1. Notons r le reste de la division euclidienne de a par b. Exprimer le reste de la division dena−1 par nb−1en fonction de n et r.
b. En déduire que si na−1est premier, alors n = 2 eta est premier.
Exercice 2
Soient a et b deux entiers premiers entre eux. Montrer que a+b et ab sont premiers entre eux.
Exercice 3
Soient a etb deux entiers≥1 premiers entre eux. Posonsm = (a−1)(b−1) etM ={au+bv ; (u;v)∈N2}.
a. Démontrer que m−1∈/ M.
b. Montrer que n ∈ M pour tout entier n ≥ m (on pourra considérer u ∈Z etv ∈ {0;· · ·;a−1} tels que au−bv =n−m+ 1).
Exercice 4 Soit n un entier.
a. Soient p un nombre premier et r un entier naturel. Montrer que p divise npr−r+1−n.
b. En déduire que2730 divise n13−n.
Exercice 5
Soit (Fn)n≥0 la suite de Fibonacci définie par F0 = 0, F1 = 1, et Fn+2 = Fn+1+Fn pour toutn ≥0.
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a. Montrer que Fn etFn+1 sont premiers entre eux pour tout n≥0.
b. Soient m et n deux entiers tels que 1 ≤ m ≤ n. Montrer la relation Fn=FmFn−m+1+Fm−1Fn−m.
c.En déduire que Fm∧Fn=Fm∧n pour tout (m;n)∈N∗2. Exercice 6
a. Trouver tous les couples (x;y)∈Z2 vérifiant57x−44y = 1.
b. Trouver tous les triplets (x;y;z)∈Z3 vérifiant 6x+ 10y+ 15z = 1.
Exercice 7
Trouver tous les entiers n vérifiant :n ≡ −15 mod 57et n≡15 mod 129.
Exercice 8
Une bande de 17 pirates s’est emparée d’un butin composé de pièces d’or d’égale valeur. Ils décident de se les partager également, et de donner le reste au cuisinier. Celui-ci recevrait alors 3 pièces. Mais les pirates se querellent, et 6 d’entre eux sont tués. Un nouveau partage donnerait au cuisinier 4 pièces.
Survient alors un naufrage, et seuls 6 pirates, le trésor et le cuisinier sont sau- vés. Le partage laisserait 5 pièces d’or à ce dernier. Il décide alors d’empoisonner les autres survivants. Quelle est la fortune minimale que peut espérer le cuisinier ?
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