Licence Informatique 2e année Informatique théorique 2
TD3 : Anneaux - Algèbre de Boole
1 Produit d’anneaux
Soient(A,+A,×A)et(B,+B,×B)deux anneaux. On définit surA×B les lois(x,y) + (x′,y′) = (x+Ax′,y+By′)et (x,y)×(x′,y′) = (x×Ax′,y×By′).
a.Montrer queA×B est un anneau pour les lois+et ×. b.Si Aet B sont des corps, en est-il de même pourA×B?
2 Anneau sur R
On définit sur R les opérations ⊕et ⊗par x⊕y =x+y−1 et x⊗y = x+y−x.y. Montrer que(R,⊕,⊗)est un anneau. Est-ce un corps?
3 Idéal
Soit(A,+,.)un anneau commutatif etI un idéal deA. On appelle radical deI l’ensemble√
I={x∈A|∃n∈N,xn ∈I}. a.Montrer que√
Iest un idéal deAcontenantI. Etudier le casA=Z. b. Montrer que siI etJ sont deux idéaux deA tels queI⊆J, √
I⊆√ J. En déduire quep√
I=√ I.
4 Théorème des restes chinois
Une bande de 17 pirates s’est emparée d’un butin composé de pièces d’or d’égale valeur. Ils décident de se les partager également et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait trois pièces. Mais les pirates se querellent et six d’entre eux sont tués. Le cuisinier recevrait alors 4 pièces. Survient alors un naufrage et seuls 6 pirates, le cuisinier et le trésor sont sauvés et le partage laisserait 5 pièces d’or à ce dernier. Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer ce dernier s’il décide d’empoisonner le reste des pirates?
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5 Algèbre de Boole
a.Montrer que Z/2Z est une algèbre de Boole.
b. Démontrer, dans une algèbre de Boole, la formule de Poretsky : x= a.x+ b.¯x⇔b≤x≤a.
c. Démontrer, dans une algèbre de Boole, la formule de Schröder :a.x+b.¯x= 0⇔b≤x≤¯a.
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