Licence Informatique 2

Licence Informatique 2 ^e année Informatique théorique II

Examen - 10/01/2007 - 2h00

Les notes de cours et de TD sont autorisées. Il sera tenu compte pour la notation de la qualité de rédaction, de la lisibilité des copies et éventuellement de la précision des références au cours.

1 Contrebande (6 points)

Le long d’une portion de la frontière franco-suisse patrouillent des doua- niers français qui mettent 5 minutes pour faire leur ronde. Une patrouille de gendarmes fait aussi sa ronde, en 4 minutes. De l’autre coté de la frontière, des gendarmes suisses mettent 7 minutes pour parcourir la portion de frontière qu’ils surveillent et des douaniers suisses font tranquillement leur ronde en 13 minutes en croquant du chocolat. On suppose que les horaires des patrouilles ne sont pas modifiés par les relèves.

Un contrebandier veut traverser la frontière. Il a vu passer au poste de contrôle les douaniers français il y a 3 minutes, les gendarmes français il y a 2 minutes, les douaniers suisses il y a 2 minutes et les gendarmes suisses il y a 1 minutes. Quand sera t-il sur que, les 4 patrouilles étant regroupées au poste, il pourra passer la frontière sans encombre? Les méthodes utilisées pour les calculs doivent être explicitées.

2 Décomposition en éléments simples (6 points)

Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle _(x²_+2x+1)(x^{1 3}₋₁₎.Les méthodes utilisées pour les calculs doivent être explicitées.

3 Résolution de récurrence (8 points)

Résoudre par la méthode des séries génératrices l’équation de récurrence a_n= 2a_n

−1+ 3a_n

−2+naveca₀= 1eta₁= 1.Les méthodes utilisées pour les calculs doivent être explicitées.

1

Contrebande

Le système de congruence est : – x≡2mod4

– x≡2mod5 – x≡11mod13 – x≡6mod7

On obtient x = 622mod1820. Le contrebandier devra attendre 10h et 22 minutes.

Décomposition en éléments simples

Le résultat est _(x+1)^−1/22 +⁻_x+1^3/4+^1/12_x

−1 +¹_3x^22x+1_+x+1

Résolution de récurrence

La fraction à décomposer est ^{−2x3+5x2−3x+1}

−3(1−x)²(x+1)(x−1/3). Sa décomposition est

−1/4

(1−x)² +⁻₁^1/4

−x +^11/16_1+x +⁻_3x^13/16

−1 . Le terme général est donc a_n = ⁻₄¹C₂ⁱ(−1)ⁱ−

1

4+¹¹₁₆(−1)ⁱ+¹³₁₆3ⁱ.

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