Universit´e Bordeaux Alg`ebre 3 – Licence 2
Math´ematiques Ann´ee 2014–2015
FEUILLE D’EXERCICES no 7 Anneaux, corps, arithm´etique (2)
Exercice 1 –
Soit (A,+,×) un anneau commutatif unitaire int`egre.
1) Soit a∈A\ {0A}. Montrer que f :A →A d´efinie par f(x) =ax est injective.
2) En d´eduire que si A est fini, alors A est un corps.
Exercice 2 –
Soit Aun anneau commutatif. Montrer que l’ensemble des ´el´ements nilpotents de A(voir feuille 6) est un id´eal de A.
Exercice 3 –
Soient (A,+,×) un anneau commutatif et I etJ deux id´eaux de A.
1) Montrer que I∩J et I+J ={i+j; i∈I, j ∈I}sont des id´eaux de A.
2) Rappeler pourquoi si I est un id´eal de Z il existe un unique entiera ∈Ntel que I =aZ. 3) Soient I =mZ et J =nZ deux id´eaux de Z. Que sont les id´eaux I∩J et I+J ?
4) On note IJ l’id´eal engendr´e par les ij, i ∈ I, j ∈ J, i.e. le plus petit id´eal contenant les ij (qui peut ˆetre d´efini comme l’intersection de tous les id´eaux contenant les ij). Montrer que IJ est l’ensemble des sommes finies de produits de la forme ij,i∈I, j ∈J. Que vaut IJ si I etJ sont deux id´eaux de Z ?
5) Montrer que IJ ⊆I∩J et que l’inclusion peut ˆetre stricte.
6) Montrer que si A est unitaire et si I+J =A, on aIJ =I∩J.
7) La r´eciproque est-elle exacte quand A=Z ? Exercice 4 –
Soit (A,+,×) un anneau commutatif unitaire int`egre de caract´eristiquep > 0.
1) Montrer que p est premier. Indication : on pourra utiliser le th´eor`eme de factorisation et observer que Z/pZ est int`egre.
2) Montrer que quels que soient a, b∈A, on a (a+b)p =ap+bp et (a−b)p =ap−bp. 3) Trouver des formules analogues pour (a±b)ps o`u s est un entier ≥1.
4) Montrer que f :A→A d´efinie par f(x) = xp est un morphisme d’anneaux unitaires (appel´e morphisme de Frobenius).
5) Montrer que si A est fini (donc un corps d’apr`es l’exercice 1),f est un automorphisme.
6) Que vaut f si A=Z/pZ ?
7) Soient p un nombre premier et A = Z/pZ[X] l’anneau des polynˆomes `a coefficients dans Z/pZ. Montrer que A est un anneau commutatif unitaire int`egre de caract´eristique p. Montrer que son morphisme de Frobenius1 n’est pas surjectif.
Exercice 5 –
Soient K un corps (commutatif) et P(X)∈K[X].
1) Rappeler pourquoi si a∈K v´erifie P(a) = 0, alors X−a diviseP(X) dans K[X].
2) Soit k ≥ 1 un entier. Montrer que si a1, a2, . . . ak sont k ´el´ements distincts de K tels que P(ai) = 0 pour tout i, alors (X−a1)(X−a2)· · ·(X−ak) divise P(X) dans K[X].
3) On consid`ere un nombre premier p. Montrer que dans Z/pZ[X] on a Xp−X = Y
α∈Z/pZ
(X−α)
1On pourra montrer quef(P(X)) =P(Xp).
et en d´eduire que (p−1)!≡ −1 mod p.
4)R´eciproquement supposons qu’un entier n >1 v´erifie (n−1)!≡ −1 modn. Montrer que tout x∈ {1,2, . . . , n−1}est inversible modulon et en d´eduire que n est premier. On a donc prouv´e le th´eor`eme suivant.
Th´eor`eme (de Wilson) : soit n un entier>1. On a
n premier ⇔(n−1)! ≡ −1 modn.
5) Soit n >1 compos´e. On sait d´ej`a par ce qui pr´ec`ede que (n−1)! 6≡ −1 modn. Montrer plus pr´ecis´ement que (n−1)! ≡0 modn sauf si n= 4.
Exercice 6 –
Soient pun nombre premier et n ≥1 un entier. On d´esire calculer
Sn= X
x∈Z/pZ
xn.
1) Calculer Sn quand p−1|n.
2) On suppose d´esormais que p−1-n. Soit r le reste de la division euclidienne den par p−1.
Montrer en consid´erant le polynˆome Xr−1 qu’il existea∈(Z/pZ)× tel que ar 6= 1.
3) Montrer que f : (Z/pZ)× →(Z/pZ)× d´efinie par f(x) =ax est bijective et calculer la valeur de Sr.
4) En d´eduire la valeur de Sn.
5) Retrouver le r´esultat ´etabli en utilisant le fait que (Z/pZ)× est cyclique.
Exercice 7 –
Une bande de 17 pirates poss`ede un tr´esor constitu´e de pi`eces d’or d’´egale valeur. Ils projettent de se les partager ´egalement, et de donner le reste au cuisinier chinois. Celui-ci recevrait alors 3 pi`eces. Mais les pirates se querellent, et six dentre eux sont tu´es. Un nouveau partage donnerait au cuisinier 4 pi`eces. Dans un naufrage ult´erieur, seuls le tr´esor, six pirates et le cuisinier sont sauv´es, et le partage donnerait alors 5 pi`eces d’or `a ce dernier. Quelle est la fortune minimale que peut esp´erer le cuisinier s’il d´ecide d’empoisonner le reste des pirates ?
