Université Cadi Ayyad Faculté PolyDisciplinaire -Safi-
Département de Maths-Info Série No 1 A.U : 2019/2020
Exercice 1. SoientI, J et Ldes idéaux d’un anneau unitaire commutatifA.
1. Montrer que : I.J ⊆I∩J;
(I.J) + (I.L) =I.(J+L); (I∩J) + (I∩L)⊆I∩(J+L).
2. Donner un exemple où I.J6=I∩J. 3. SiI+J =A, montrer queIJ=I∩J.
4. On suppose queA est un anneau dans lequel, pour deux idéaux quelconquesI etJ, on a l’égalité I.J =I∩J (1).
a. Montrer que(I∩J) + (I∩L) =I∩(J+L).
b. Montrer queAvérifie la condition(1) si et seulement si, pour tout idéal deA, on aI2=I.
c. Vérifier que l’anneau de Boole est un anneau vérifiant la condition(1).
d. SiA est un domaine d’intégrité vérifiant la condition(1); montrer queA est un corps.
e. Montrer que siA vérifiant(1), tout idéal premier est maximal.
5. SiJ ⊆I, alorsJ+ (I∩L) =I∩(J+L).
Exercice 2. 1. Montrer que tout domaine d’intégrité finiAest un corps.
2. Montrer que tout domaine d’intégrité Aqui possède un nombre fini des idéaux est un corps.
3. Montrer que si Aest un domaine d’intégrité, alorsA[X]est aussi un domaine d’intégrité.
Exercice 3. SoitA un anneau,B un sous-anneau deA et I un idéal de A. Montrer que siI∩B ={0} alors B'A/I.
Exercice 4. 1. Soitn>2. Montrer que Z/nZest intègre si et seulement sinest un nombre premier.
2. Résoudre dans Z/13Zl’équationx2= 1.
3. Résoudre dans Z/12Zl’équationx2= 1.
Exercice 5. SoientIetJ des idéaux d’un anneau unitaire commutatifA. On suppose que I+J =A. Montrer que, pour toutn∈N∗,In+Jn=A.
Exercice 6. SoitIun idéal d’un anneau commutatif A. On note√
I={a∈A;∃n∈N∗, an∈I}.
1. Montrer que √
I est un un idéal deA. que vautp {0}?
2. Soient I, J etLdes idéaux de A. Montrer que : a siI⊆J alors√
I⊆√ J; b √
IJ =√ I∩J; c √
I∩J =√ I∩√
J; d p√
I=√ I.
3. SiI un idéal premier deA. Prouver que√ I=I.
4. Soient (Ii)06i6n des idéaux premiers deA. Supposons queI⊆
n
\
i=1
Ii⊆√
I.Montrer que
n
\
i=1
Ii=√ I.
Exercice 7. SoitAun anneau unitaire commutatif.
1. Soitx∈Anilpotent. Montrer que1 +xest inversible dansA.
2. Montrer que si aest nilpotent etb inversible alorsa+best inversible.
3. Soitf =
n
X
i=0
aiXi∈A[X]\ {0}.
Montrer que sia0 est inversible etai,i= 1, ..., n, est nilpotent, alors f est inversible.
Pr. Mohammed Karmouni Page 1/2 SMA, S6, Alg. Commutative
4. Soitg=
m
X
i=0
biXi etf g= 1.
a Montrer quea0 est inversible.
b Montrer par récurrence surk,06k6m, queak−1n bm−k= 0.
c Prouver que pour touti,06i6n,ai est nilpotent.
5. Montrer que f est nilpotent si et seulement, si tous les ai sont nilpotents.
6. Vérifier queN(A[X]) =N(A)[X].
7. Montrer que N(A[X]) =J(A[X]).
Exercice 8. Soitf ∈Hom(A, B), un morphisme d’anneaux unitaires commutatifs.
1. Montrer que f−1= (I)est un idéal premier deAcontenantKerf, oùI est un idéal premier deB.
2. Supposons quef est surjectif, montrer que quel que soit l’idéal premierI deA contenantKerf,f(I)est un idéal premier deB.
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