Montrer que pour tout x∈A on a x+x= 0A

Universit´e Bordeaux Alg`ebre 3 – Licence 2

Math´ematiques Ann´ee 2014–2015

FEUILLE D’EXERCICES n^o 6 Anneaux, corps, arithm´etique (1)

Exercice 1 –

Un anneau (A,+,·) est ditde Boole si A est unitaire et si pour tout x∈A, on ax² =x.

1) Soit A un anneau de Boole. D´eterminer A^×.

2) Soit A un anneau de Boole. Montrer que pour tout x∈A on a x+x= 0_A. 3) En d´eduire qu’un anneau de Boole est commutatif.

4)Un anneau commutatif (A,+,·) est ditint`egresiAn’est pas r´eduit `a{0_A}et si pourx, y ∈A on a xy = 0_A⇒x ouy = 0_A. Montrer qu’un anneau de Boole int`egre n’a que 2 ´el´ements.

5) Un anneau de Boole peut-il avoir 3 ´el´ements ? 6) Donner des exemples d’anneaux de Boole.

Exercice 2 –

Soit (A,+,×) un anneau. Pourn entier ≥1 et x∈A, on note nx l’´el´ement x+x+· · ·+x (o`u x apparaˆıt n fois dans la somme).

1) Montrer que si x, y ∈A, alors (x+y)² =x²+ 2xy+y² si et seulement si x et y commutent, i.e. v´erifient xy=yx.

2) Montrer que si x, y ∈A commutent, alors pour tout entiern ≥1 on a (x+y)ⁿ =

n

X

i=0

n i

xⁱyⁿ⁻ⁱ (avec la convention x⁰yⁿ =yⁿ etxⁿy⁰ =xⁿ).

Un ´el´ement x de A est dit nilpotent s’il existe un entier n ≥ 1 tel que xⁿ = 0_A. Si x ∈ A est nilpotent, le plus petit entier n≥1 tel que xⁿ= 0_A est appel´e l’indice de nilpotence dex.

3) Soient a et b deux ´el´ements nilpotents de A. On suppose qu’ils commutent i.e. ab = ba.

Montrer que a+b et ab sont nilpotents. Que peut-on dire de leurs indices de nilpotence (en fonction de ceux de a etb) ?

4) Le but de cette question est de montrer que si a et b ne commutent pas (donc si A est non commutatif), cette propri´et´e peut ˆetre fausse. Soit A = M₂(R) muni de l’addition et du produit standards. Montrer que A est un anneau non commutatif et trouver deux ´el´ements de A nilpotents dont la somme et le produit ne sont pas nilpotents.

5) Soient a, b ∈ A tels que ab soit nilpotent d’indice de nilpotence n. Montrer que ba est nilpotent. Que peut-on dire de son indice de nilpotence ? En particulier, est-il n´ecessairement

´

egal `a n ?

6)On suppose d´esormaisAunitaire d’´el´ement neutre 1_Apour×. Soita∈A, nilpotent. Montrer que 1_A−a est inversible et exprimer son inverse sous forme de polynˆome ena.

7) Soient a, b ∈ A tels que 1_A−ab soit inversible. Montrer que 1_A−ba est aussi inversible et exprimer son inverse en fonction de celui de 1_A −ab. Indication : on pourra commencer par supposer ab nilpotent.

Exercice 3 –

Soit (A,+,×) un anneau commutatif unitaire. On appelle diviseur de z´ero dans A tout ´el´ement a ∈A\ {0A}tel qu’il existe b6= 0A v´erifiant ab= 0A.

1) Montrer qu’un diviseur de z´ero de A n’appartient pas `aA^×.

2) Un ´el´ement deA\(A^×∪ {0_A}) est-il n´ecessairement un diviseur de z´ero ? Soit n un entier≥2. Si x∈Z, on note x la classe de x dans Z/nZ.

3) Rappeler pourquoi x est inversible dans Z/nZ si et seulement si pgcd(x, n) = 1.

4) D´eterminer (Z/11Z)^× et (Z/12Z)^×.

5) Quels sont les diviseurs de z´ero de (Z/11Z)^× et (Z/12Z)^× ?

6) Montrer que l’ensemble des diviseurs de z´ero de A=Z/nZest exactement A\(A^×∪ {0_A}).

Exercice 4 –

1) Quel est le dernier chiffre de l’´ecriture d´ecimale de 17¹⁷¹⁷ ? 2) Mˆeme question avec les deux derniers chiffres.

3) Quel est le reste de la division euclidienne de 10¹⁰ⁿ par 7 (n ∈N) ? 4) L’entier 2⁷⁰+ 3⁷⁰ est-il divisible par 13 ?

5) Montrer que 2015 admet un multiple dont l’´ecriture d´ecimale ne comporte que le chiffre 5.

6) Montrer que si n≥1 est impair, alors n|2^n!−1.

7) D´eterminer les nombres premiersp tels que p|2^p+ 1.

8) On cherche `a d´eterminer les entiers n ≥ 1 tels que n | 2<sup>n</sup>− 1. Dans les trois premi`eres questions on suppose que n >1 et on note p le plus petit nombre premier divisantn.

a) Montrer que n et psont impairs et en d´eduire que 2 est inversible modulo p.

b) Soit m l’ordre de la classe de 2 dans (Z/pZ)^×. Montrer quem |p−1 et que m|n.

c) En d´eduire une contradiction.

d) Conclure.