a) Montrer que||DF(x, y

Universit´e Lille I L3 Maths

2011-2012 M-52

8 - ACCROISSEMENTS FINIS

Exercice 1

a) Soitf :]a;b[→Rⁿ une fonction d´erivable. Montrer quef^′ est born´ee sur ]a;b[ si et seulement sif est lipschitzienne.

b) Montrer que l’´egalit´e des accroissements finis n’est pas vraie pour les fonctions `a valeurs vectorielles (consid´ererf(x) =e^ix).

Exercice 2

On consid`ere l’application F :R<sup>2</sup>→R<sup>2</sup> d´efinie parF(x, y) = (<sup>cosx−</sup><sub>2</sub><sup>siny</sup>,<sup>sinx−</sup><sub>2</sub><sup>cosy</sup>), o`u R² est muni de la norme euclidienne.

a) Montrer que||DF(x, y)|| ≤√

2/2 pour tout (x, y).

b) En d´eduire que la suite r´ecurrente d´efinie parx0, y0 et pourn≥1 xn+1= 1

2(cosxn−sinyn), yn+1=1

2(sinxn−cosyn) converge quel que soit (x0, y0). Que peut-on dire de sa limite ?

Exercice 3

Soitf :R²→R²d´efinie parf(x, y) = (x²−y, x²+y²), etg=f◦f. a) Montrer quef etg sont de classeC¹.

b) Calculer en tout point (x, y)∈R² la matrice jacobienne def, not´eeJac_(x,y)f. ExprimerJac_(x,y)gen fonction de la matrice jacobienne def.

c) CalculerDg(0,0). Montrer qu’il existeδ >0 tel que pour tout (x, y)∈BF((0,0), δ),||Dg(x, y)|| ≤ ¹₂. d) Montrer que la fonctiong admet un unique point fixe dansBF((0,0), δ) et le d´eterminer.

Exercice 4

On consid`ere l’applicationF :R²→R² d´efinie par

F(x, y) = (x²+y², y²).

Soit Ω ={p∈R²|F^k(p)−−−−−→_p→+∞ 0}o`u F^k est l’applicationF compos´eek-fois avec elle-mˆeme.

a) V´erifier quep∈Ω si et seulement siF(p)∈Ω.

b) Montrer qu’il existe δ >0 tel quekDF(p)k< ₂¹ sikpk< δ. En d´eduire queB(0, δ)⊂Ω.

c) Soitp∈Ω : montrer qu’il existekp∈Ntel quep∈ F^kp−1

(B(0, δ))⊂Ω. Montrer que Ω est ouvert.

d) CalculerF(tx, ty) pourt∈R. En d´eduire Ω est connexe.

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Exercice 5

Soitf une application diff´erentiable de ]a, b[⊂RdansRⁿ; on suppose qu’il existek >0 tel que

∀x∈]a, b[, ||Df(x)|| ≤k||f(x)||

Montrer que sif s’annule en un point x0 ∈]a, b[, alorsf est identiquement nulle sur ]a, b[ (commencer par montrer queE={x∈]a, b[|f(x) = 0} est ouvert).

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