Première S2 Exercices sur le chapitre 8 : E8. 2007 2008
E8 Savoir calculer la dérivée d'un quotient.
P 58 n ° 21 f4.
f ( x ) = x1
x+ f ' ( x ) =
² x
) 1 x ( 1
x− + = -
² x
1 Df = Df ' = *.
P 58 n ° 22 f2.
f ( x ) = x 4 3
4 x
3−− f ' ( x ) =
)² x 4 3 (
) 4 x 3 )(
4 ( ) x 4 3 ( 3
−− −
−
− =
)² x 4 3 (
16 x 12 x 12
9− −+ − = − )² x 4 3 (
−7
Df = Df ' = − { 0,75 }.
P 58 n ° 23.
x² − x = 0 ⇔ x ( x − 1 ) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 1.
Du = Dv = ] - ∞ ; 0 [ U ] 0 ; 1 [ U ] 1 ; + ∞ [.
u ( x ) =
x
² x
30 x 11
²
x − −+ u ' ( x ) =
)² x
² x (
) 30 x 11
² x )(
1 x 2 ( ) x
² x )(
11 x 2 (
− − − +
−
−
−
u ' ( x ) × ( x² − x )² = 2x3 − 2x² − 11x² + 11x − 2x3 + 22x² − 60x + x² − 11x + 30 = 10x² − 60x + 30.
v ( x ) = x
² x
30 x
10 −− v ' ( x ) =
)² x
² x (
) 30 x 10 )(
1 x 2 ( ) x
² x ( 10
−− −
−
−
v ' ( x ) × ( x² − x )² = 10x² − 10x − 20x² + 60x + 10x − 30 = -10x² + 60x − 30 Pour tout x ∈ Du ' et pour tout x ∈ D v ' on a : ( u ' + v ' ) ( x ) = 0.
Donc u ' + v' = 0 Or posons f = u + v
Pour tout x de D f ( x ) = ( u + v ) ( x ) = u ( x ) + v ( x ) =
x
² x
30 x 11
²
x − −+ + x
² x
30 x 10 −− =
x
² x
x
² x −− = 1.
Et par conséquent, f ' ( x ) = 0.
Il est donc normal que u ' + v ' = 0.
P 58 n ° 24.
a. f ( x ) = 1 x
1 x−+ .
D = − { 1 }.
Pour tout x ∈ D, f ' ( x ) =
)² 1 x (
) 1 x ( 1 x
− +
−
− = -
)² 1 x (
−2 . ( x − 1 ) ² > 0 donc f ' ( x ) < 0 pour tout x de D.
b. g ( x ) = 4 x
3 x
2++ D = − { - 4 }
pour tout x de D, g ' ( x ) =
)² 4 x (
) 3 x 2 ( 1 ) 4 x ( 2
+ +
−
+ =
)² 4 x (
3 x 2 8 x
2 ++− − = )² 4 x (
+5 g ' ( x ) > 0 pour tout x de D.
