1`ere S 12 DST 8 22 mai 2014 Dur´ee 1 heure. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : (5 points)
Soit f la fonction d´efinie parf(x) = x2−4 2x−5.
On appelleC la courbe def dans un rep`ere du plan.
(1) D´eterminer l’ensemble de d´efinition,Df, de la fonctionf. (2) ´Etudier les variations def sur l’ensembleDf.
(3) D´eterminer l’´equation r´eduite de la tangente `a la courbeC au point d’abscisse 3.
(4) D´eterminer les abscisses des points de C dont la tangente est parall`ele `a la droite d’´equation y=−x.
Exercice 2 : (5 points)
Soient aetb deux r´eels.
(1) Rappeler les 4 formules d’additions du cosinus et du sinus.
(2) D´emontrer la formule donnant cos(a−b)
(3) Comment peut-on en d´eduire de cos(a−b) la formule donnant sin(a−b) ?
Exercice 3 : (2 points)
Dans un rep`ere orthonorm´e, on consid`ere les pointsA(−2;−1),B(4; 1) et C(1; 5) (1) Calculer le produit scalaire−−→
AB·−→
AC.
(2) En d´eduire la mesure de l’angle\BAC en radians.
Exercice 4 : (4 points)
On donne les points A(−1; 2) et B(3; 4),M est un point de coordonn´ees (x;y).
(1) Calculer, en fonction dex et de y,−−→
M A+−−→
M B
·−−→
M A.
(2) Prouver que les points M tels que
−−→
M A+−−→
M B
·−−→
M A = 0 sont situ´es sur un cercle dont on pr´ecisera le rayon et les coordonn´ees du centre.
Exercice 5 : (4 points)
Cette question est plus difficile, des figures sont indispensables pour comprendre le probl`eme.
Soient M un point,C un cercle de centreO et de rayonRet (d) une droite passant parM et coupant le cercle en A etB. Alors le produitM A×M B est ind´ependant de la droite orient´ee choisie et vaut M O2−R2 si M est `a l’ext´erieur du cercle et R2−M O2 sinon.
On l’appelle puissance du point M par rapport au cercleC. L’objectif de cette question est de r´epondre `a ce probl`eme.
(1) SoitA0 le sym´etrique de A par rapport aO. Montrer que :
−−→M A·−−→
M B=−−→
M A·−−→
M A0. (2) Le th´eor`eme de la m´ediane s’´enonce ainsi :
ABC est un triangle,I est le milieu de [BC]. On a :AB2+AC2 = 2AI2+12BC2. D´emontrer ce th´eor`eme.
(3) D´eduire des questions pr´ec´edentes que :
−−→M A·−−→
M B=OM2−R2. (4) Conclure.
