Feuille d’exercices n
4 - PRIMITIVES
CALCUL DE PRIMITIVES Exercice 79. ( ` a )
D´ eterminer une primitive des fonctions (pr´ eciser l’intervalle de d´ efinition) : 1.
» t t 1 dt 2.
» ln t t dt 3.
» 1 t ln t dt 4.
» dt
? 1 t
25.
»
cotan p t q dt 6.
»
cos
3p t q dt 7.
» t
? 1 t
2dt 8.
» 2t 1 t
4dt
9.
» t 1 t dt 10.
» dt it 1 11.
» 3t
2p t
38 q
3dt 12.
»
e
2t 1sinp3t 4q dt Exercice 80. ( ` a )
D´ eterminer une primitive des fonctions suivantes sur l’intervalle I propos´ e : 1. f p x q 3
? 3x 1 sur I s
13, 8r 2. g p x q e
3x 2sur I R
3. h p x q
x32x42 x 3sur I R 4. ipxq 1
1 x
2sur I s1, 8r Exercice 81. ( ) D´ eterminer une primitive des fonctions suivantes :
1. fpxq 1
x
25x 6 2. gpxq 1
x
23x 3 3. hpxq x 2
x
22x 3 CALCUL D’INT´ EGRALES
Exercice 82. ( ) Calculer les int´ egrales suivantes : 1.
»
10
e
t1 e
tdt 2.
»
π4
0
sin p t q cos p t q dt 3.
»
10
? t
1 2t
2dt
4.
»
π4
0
tanptq dt 5.
»
10
? x p 1 x q dx
6.
»
10
1 t i dt
7.
»
10
x
p x
24 q
2dx 8.
»
10
e
3xcos p 5x q dx
Exercice 83. ( )
La fonction h est d´ efinie sur R
par h p x q e
x2 e
x1 .
1. D´ eterminer les r´ eels a et b tels que @x P R
, hpxq a be
xe
x1 . 2. En d´ eduire
»
21
h p t q dt.
INT´ EGRATION PAR PARTIE Exercice 84. ( ` a )
Calculer les int´ egrales suivantes avec une int´ egration par parties.
1.
»
21
x ln p x q dx 2.
»
10
arctan x dx
3.
»
10
? x
3x 1 dx 4.
»
21
x sin p x q dx
5.
»
11
p x
2x 1 q e
xdx
Exercice 85. ( )
Pour tous p, q P N , on pose I
p,q»
ba
p t a q
pp b t q
qdt 1. Trouver une relation entre I
p,qet I
p 1,q1.
2. Exprimer I
p,q` a l’aide de factoriels : n! 1 2 . . . p n 1 q n.
CHANGEMENT DE VARIABLES Exercice 86. ( )
Calculer les int´ egrales suivantes avec un changement de variables.
1.
»
10
dt 1 e
t2.
»
e1
dt t a
lnptq 1 avec v ln p t q 3.
»
e
?tdt DIVERS
Exercice 87. ( ) 1. Montrer que
»
π2
0
cos t
cos t sin t dt
»
π2
0
sin t
cos t sin t dt.
2. Calculer la valeur de cette int´ egrale, en d´ eduire la
»
10
