Exercice 1. D´ eterminer si les applications suivantes sont lin´ eaires.

UNIVERSIT ´ E PIERRE ET MARIE CURIE Ann´ ee 2008/2009

MIME 13 LM 120

Feuille d’exercices 7

Exercice 1. D´ eterminer si les applications suivantes sont lin´ eaires.

f 1 :

R ² → R ²

(x, y) 7→ (2x + 3y, 3x − 5y) f 2 :

R ² → R ³ (x, y) 7→ (|x|, y, 0)

f 3 :

R → R ²

x 7→ (x ² , −x) f 4 :

R ² → R ²

(x, y) 7→ (2x + 1, x − y)

Exercice 2.

a) On consid` ere l’application lin´ eaire

f : R ³ −→ R ⁴



 x y z



 7−→









x + 2y + z x − y + z 3x + y + 2z

−x + y + 3z







 .

f peut-elle ˆ etre surjective ? Montrer qu’elle est injective, et donner une base de son image.

b) On consid` ere l’application lin´ eaire

g : R ⁴ −→ R ²







 x y z t







 7−→

3x + y + 2z − t x − y + z + 4t

.

g peut-elle ˆ etre injective ? Montrer qu’elle est surjective, et donner une base de son noyau.

c) On consid` ere l’application lin´ eaire

h : R ² −→ R ³

(x, y) 7−→ (x − y, −3x + 3y, 0).

Montrer que h n’est ni injective ni surjective. Donner une base de son noyau, et une base de son image.

Exercice 3. On consid` ere l’application lin´ eaire

f : R ³ −→ R ³



 x y z



 7−→





−x + 3y + z 2x + 3y − z 4x − y + 3z



 .

Montrer que f est un isomorphisme, et d´ eterminer son inverse.

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Exercice 4. On consid` ere les applications

f :

R ³ → R ²

(x, y, z) 7→ (x + y, x − z) et g :

R ² → R ³

(x, y) 7→ (x + 2y, 3x − y, x + y) D´ eterminer f ◦ g et g ◦ f.

Exercice 5. Soit (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) la base canonique de R ⁴ . Soit f : R ⁴ → R ⁴ l’endomorphisme d´ efini par



 



 



f (e 1 ) = −e 2 + e 3 − e 4

f (e 2 ) = e 1 − e 2 + e 3

f (e ₃ ) = e ₁ + e ₄ f (e ₄ ) = e ₂ − e ₃ + e ₄

.

a) D´ eterminer f ² = f ◦ f . En d´ eduire que Im(f ) ⊆ Ker(f ).

b) D´ eterminer Ker(f ). En d´ eduire que Im(f ) = Ker(f ).

Exercice 6. Soit f l’endomorphisme de R ³ d´ efini par

f (e 1 ) = e 2 , f (e 2 ) = e 3 , f(e 3 ) = e 1

o` u {e 1 , e 2 , e 3 } est la base canonique de R ³ . a) Montrer que f ³ = Id _R

.

b) D´ emontrer que F = {u ∈ R ³ | f(u) = u} est un sous-espace vectoriel de R ³ et d´ eterminer sa dimension.

c) Montrer que G = {f (u) − u | u ∈ R ³ } est un sous-espace vectoriel de R ³ , et d´ eterminer sa dimension.

Exercice 7. Soit f : R ⁿ → R ⁿ une application lin´ eaire. Montrer que les deux assertions suivantes sont ´ equivalentes :

(a) Ker(f ) = Im(f ) (b) f ² = 0 et n = 2rg(f ).

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