• Aucun résultat trouvé

Exercice 1. Soit f une application de E dans F . Parmi les applications ci-dessous, lesquelles sont lin´eaires ?

N/A
N/A
Info
Télécharger
Protected

Academic year: 2022

Partager "Exercice 1. Soit f une application de E dans F . Parmi les applications ci-dessous, lesquelles sont lin´eaires ?"

Copied!
2
0
0

Chargement.... (Voir le texte intégral maintenant)

Texte intégral

(1)

Universit´e du Littoral Ann´ee universitaire 2013-2014

Licence 2 `eme ann´ee Informatique

Alg`ebre

S´eance 3 : Applications lin´eaires

Exercice 1. Soit f une application de E dans F . Parmi les applications ci-dessous, lesquelles sont lin´eaires ?

1. E = R

2

, F = R

3

, f(x, y) = (0, x + y, −3x + 7y).

2. E = R

3

, F = R

3

, f(x, y, z) = (x + z, x − 2y, −x + y + z + 1).

3. E = R

3

, F = R

3

, f(x, y, z) = (z, x + y, yz).

4. E = R

3

, F = R

3

, f(x, y, z) = (x + 2y + 3z, x + y, −x + y − z).

5. E = R, F = R, f (x) = cos x.

Exercice 2. Soit f une application de R

2

dans R

3

d´efinie par f (x, y) = (x, 2x + y, y).

1. Montrer que f est lin´eaire.

2. Donner la matrice A de l’application f par rapport aux bases canoniques de R

2

et R

3

. 3. D´eterminer ker f et Imf .

4. f est-elle bijective ?

Exercice 3. Soit f une application de R

3

dans R

3

d´efinie par

f (x, y, z) = (x + y + z, x + y − z, 2x + 2y).

1. Montrer que f est lin´eaire.

2. D´eterminer ker f et Imf . 3. f est elle injective ? surjetive ?

Exercice 4. Soit f une application de R

3

dans R

3

d´efinie par

f (x, y, z) = (x − y + 2z, x + y − z, 2x − 2y + 5z).

1. Montrer que f est lin´eaire.

2. D´eterminer ker f . 3. f est elle bijective ?

Exercice 5. Soit f une application de R

3

dans R

4

d´efinie par

f (x, y, z) = (x − y − z, x + 5y + 2z, x + 3y + z, z).

1. Montrer que f est lin´eaire.

2. D´eterminer ker f et Imf . 3. f est elle bijective ?

Exercice 6. Soit B = (e

1

, e

2

, e

3

) la base canonique de R

3

. Soient f ,g et h les trois applications lin´eaires de R

3

dans R

3

d´efinies par

f(x, y, z) = (x + z, 2y − z, x),

g(e

1

) = e

1

+ e

3

, g(e

2

) = 2e

2

− e

3

, g(e

3

) = e

1

, h(e

1

) = e

1

+ e

3

, h(e

2

) = 2e

2

, h(e

3

) = e

1

− e

2

,

1

(2)

2

1. A-t-on f = g ? f = h ?

2. Donner les matrices M

f

et M

g

de f et de g dans la base B.

Exercice 7. Soit f l’endomorphisme de R

3

dont la matrice dans la base canonique B = (e

1

, e

2

, e

3

) est A =

2 0 1 0 2 1 0 1 2

 .

1. Montrer que f est bijectif et d´eterminer f

−1

.

Posons e

01

= e

1

, e

02

= e

1

+ e

2

− e

3

et e

03

= e

1

+ e

2

+ e

3

. 2. Montrer B

0

= (e

01

, e

02

, e

03

) est une base de R

3

.

3. D´eterminer A

0

la matrice de f dans la base B

0

.

4. Donner la matrice de passage de la base B dans la base B

0

. 5. Calculer A

n

pour tout n ∈ N.

Exercice 8. Soit f une application de R

3

dans R

3

d´efinie par

f(x, y, z) = (−x + y + z, −2x + y + z, −6x + 2y + 4z).

1. Montrer que f est lin´eaire.

2. Donner la matrice de f dans la base canonique.

3. V´erifier que ces trois vecteurs de R

3

 1 0 2

 ,

 1 1 2

 ,

 2 1 5

 ,

forment une base de R

3

.

4. Donner la matrice de f dans cette base.

5. f est-elle injective ? surjective ? bijective ?

Références

Télécharger maintenant ( PDF - 2 Page - 91.13 KB )

Documents relatifs

La courbe ci-dessous représente une fonction f continue sur R et on note F une primitive de f sur R .

On note d la fonction qui donne la distance parcourue (en mètres) en fonction du temps t. On rappelle que la fonction vitesse v est la dérivée de la fonction distance d. est

a. Soit f : E → F une application. Rappeler la d´efinition de la surjectivit´e de f . b. Donner un exemple d’application f : C → R surjective.

Rappeler la d´efinition de la surjectivit´e de f.. Montrer que -2 est une racine

Lesquelles des affirmations ci-dessous sont vérifiées ? a) {f−1(A0), A0 ∈ A0} est une tribu sur Ω

La mesure µ coïncide avec la mesure de Lebesgue sur le semi-anneau formé par les intervalles de la forme ]a, b] avec a, b ∈ R ∪ {±∞} qui engendre la tribu borélienne.. Par

on consid` ere les formes lin´ eaires : f

feuille 3-ter, formes lin´ eaires et dualit´ e..

Exercice 1. Soit f l’endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est la suivante. Trouvez tous les sous espaces stables par f dans chacun des cas suivants :

feuille 4: sous espaces stables, matrices nilpo- tentes et r´ eduction de Jordan..

NOMBRES ET STRUCTURES ALG´EBRIQUES USUELLES (R) 1. Ensembles et applications 1.1. Exercice 1.1.1. F Si f ∈ F (E, F ), montrer les ´equivalences : (i) f est surjective (ii) ∀y ∈ F, f (f

Exercice 3.2.8.. Indication 3.2.1 Factoriser et se ramener `a ´etudier 4 cas.. La d´emonstration se fait de la mˆeme mani`ere que dans l’autre cas... sont positifs). On peut

3) Ecrire la matrice M de la forme polaire f de q dans la base canonique de R4

Donner la matrice de f dans

Exercices suppl´ementaires. Exercice 7. Calculer les polynˆomes d’interpolation de la fonction f dans les cas ci-dessous et donner une majoration de l’erreur |f (x)

Quelle m´ethode d’interpolation choisiriez-vous pour obtenir une approximation de f en di↵´erents points de [0, 5]?.