la matrice A = (a i,j ) d'une application linéaire f ∈ L(E, F ) (dénir le coecient a i,j ) : B = (e 1 , . . . , e p ) une base de E , C = (f 1 , . . . , f n ) une base de F et u ∈ L(E, F ) .

PCSI 5 Note /10

Interrogation de cours 28 du Lundi 30 Mai 2016

Nom et prénom :

1. ( / 2 points) Donner la dénition de :

la matrice A = (a _i,j ) d'une application linéaire f ∈ L(E, F ) (dénir le coecient a _i,j ) : B = (e ₁ , . . . , e _p ) une base de E , C = (f ₁ , . . . , f _n ) une base de F et u ∈ L(E, F ) .

On appelle matrice de u dans les bases B et C , notée Mat B,C (u) la matrice Mat C (u(e ₁ ), . . . , u(e _p )) de la famille (u(e ₁ ), ..., u(e _p )) dans la base C .

Mat B,C, (u) =















m _1,1 . . . m _1,j . . . m _1,p

... ... ...

m _i,1 . . . m _i,j . . . m _i,p

... ... ...

m _n,1 . . . m _n,j . . . m _n,p















où u(e _j ) =

n

X

k=1

m _i,j f _i pour tout 1 ≤ j ≤ p.

la matrice de passage P = (p _i,j ) entre des bases B = (e ₁ , . . . , e _n ) et B ⁰ = (e ⁰ ₁ , . . . , e ⁰ _n ) d'un espace vectoriel E (dénir le coecient p _i,j ) :

Soit B et B ⁰ deux bases de E , on appelle matrice de passage de B à B ⁰ et on note P _B,B

la matrice Mat B (B ⁰ ) :

Mat B (B ⁰ ) =















m _1,1 . . . m _1,j . . . m _1,n,

... ... ...

m _i,1 . . . m _i,j . . . m _i,n

... ... ...

m _n,1 . . . m _n,j . . . m _n,n















où u _j =

n

X

k=1

m _i,j e _i pour tout 1 ≤ j ≤ n.

2. ( / 2 points) Énoncer la formule de changement de base (en dénissant précisément chaque terme y apparaissant) :

pour les vecteurs :

Soient E un K-espace vectoriel de dimension nie, B et B ⁰ deux bases de E et x ∈ E . Notons P = P B,B

, X la matrice des coordonnées de x dans B , X ⁰ la matrice des coordonnées de x dans B ⁰ . On a :

X = P X ⁰ . pour une application linéaire f ∈ L(E, F ) :

Soient E et F des K-espaces vectoriels de dimension p et n , B et B ⁰ deux bases de E , C et C ⁰ deux bases de F , et u ∈ L(E, F ) . Notons P = P B,B

, Q = P C,C

, A = Mat B,C (u) et A ⁰ = Mat B

,C

(u) , on a :

A ⁰ = Q ⁻¹ AP.

3. ( / 1 points) Compléter :

A inversible ⇔ Ker(A) = {0} ⇔ Im(A) = M _n,1 ( K ) ⇔ rg(A) = n.

4. ( / 1,5 points) Donner la dénition du déterminant :

C'est l'unique application f : M n ( K ) → K satisfaisant les propriétés suivantes : f est multilinéaire par rapport aux colonnes ;

f est antisymétrique ; f(I n ) = 1 .

5. ( / 2 points) Compléter ( A, B, T ∈ M _n ( K ) , T triangulaire) :

det(A × B ) = det(A) det(B ) det(A + B) = pas de formule det( ^t A) = det(A)

det(λA) = λ ⁿ det(A) det(A ⁻¹ ) = 1

det(A) det(T ) = t 1,1 . . . t n,n .

6. ( / 1,5 points) Après avoir rappelé la dénition d'un mineur d'indice (i, j) , donner la formule de développement d'un déterminant suivant la i − me ligne.

Soit M = (m i,j ) ∈ M n ( K ) . Pour tout 1 ≤ i, j ≤ n , on appelle mineur d'indice (i, j) le déterminant

∆ _i,j de la matrice carrée d'ordre n − 1 obtenue en rayant dans M la ligne i et la colonne j . Soit M ∈ M _n ( K ) , alors :

det(M ) =

n

X

j=1

(−1) ^i+j ∆ _i,j .