TD M5 Mécanique 2012/13
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Travaux dirigés de Mécanique n°5
Exercice 1 : Calcul de moments
On considère un point matériel M(m) soumis à une force F!"
=Fe!"!x
constante.
Exprimer et calculer les moments de la force F!"
suivants : 1) M! "!!0
!"F
( )
; M! "!!B( )
F!" ; ! "M!!A( )
F!" ; M! "!!C( )
!"F2) M
O,e!"!z
( )
F!"
( )
; M( )
C,e!"!z( )
!"F ; M( )
D,e!"!z( )
F!" ;Données : F=1,0.103N ; l=1,0m ; θ0=45°.
Exercice 2 : Balancier d’une horloge
On s’intéresse au balancier d’une horloge à poids. Le balancier est composé d’une tige de longueur l de masse négligeable fixée en O et portant à son autre extrémité un disque modélisable par un point matériel M de masse m. Le référentiel d’étude est supposé galiléen.
1) Ecrire l’équation différentielle du mouvement du balancier en utilisant le TMC.
2) Le mouvement du balancier est considéré de faible amplitude. Déterminer les expressions de la période et de la fréquence des petites oscillations.
3) Le balancier possède un réglage qui permet d’ajuster la longueur l afin que l’horloge donne l’heure exacte. Faut-il augmenter ou diminuer l si l’horloge avance ? retarde ?
Exercice 3 : Pendule relié à des ressorts
Un pendule simple est constitué d’un fil rigide de masse négligeable et de longueur l, à l’extrémité duquel est fixé un point matériel M de masse m. Il est accroché au point O, fixe par rapport au référentiel R du laboratoire.
M est également attaché à deux ressorts (1) et (2) identiques, de raideur k et de longueur à vide l0, fixés entre deux points A et B distants de 2l0 : lorsque le pendule est vertical, les ressorts sont au repos.
On déplace légèrement M par rapport à la verticale puis on le laisse évoluer librement. Il oscille alors en
décrivant un petit arc de cercle de centre O, dans un plan vertical, et on repère sa position par l’angle θ avec la verticale. Cet angle restant toujours faible, on pourra considérer que les ressorts restent horizontaux.
1. Donner l’expression du moment cinétique de M par rapport à O dans R en utilisant une base cylindrique (e!"r
,e!"!! ,e!"!z
) d’origine O.
2. Calculer les moments des forces s’exerçant sur M, en fonction de la seule variable θ.
3. Par application du théorème du moment cinétique, déterminer l’équation différentielle vérifiée par θ et en déduire la pulsation des petites oscillations.
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Exercices des héros costauds
Exercice 4 : Superman est démasqué !
Intéressons nous aux exploits de Superman. On peut le voir lever des véhicules pour venir au secours de la veuve et de l’orphelin. Supposons la situation esquissée ci-contre.
On notera m la masse de Superman et M celle de la voiture.
1. Donner un ordre de grandeur de l’énergie dépensée par Superman pour soulever la voiture. Commenter.
2. En étudiant les forces appliquées au système {superman + voiture}, expliquer ce qu’il devrait se passer.
3. Peut on éviter ce phénomène ? Par quels moyens ?
Exercice 5 : Un archéologue très sportif…
Au cours d’une de ses aventures, Indiana Jones se retrouve glissant parfaitement sur un plan horizontal verglacé, lié par un filin inextensible et de masse négligeable à un poteau d’axe vertical placé en 0. Le fil ne s’enroule pas sur le poteau mais glisse autour sans frottement.
Pour simplifier, on assimile notre héros à un point matériel A de masse m.
1. Indiana Jones tourne autour du poteau à la distance l OA= avec la vitesse v!"!0
=v0e!"!!
dans le référentiel lié au plan, supposé galiléen. Quelle est la nature de son mouvement ? Exprimer le module T de la tension du filin.
2. Après calcul, notre héros décide, pour sortir de sa situation, de "remonter" lentement le long du fil.
a. Montrer qu’au cours de l’opération son moment cinétique par rapport à O reste constant.
b. En déduire la vitesse finale v’ d’Indiana Jones en A’ tel que ' 2 OA = l .
c. Exprimer la variation d’énergie mécanique au cours de la remontée. Du point de vue énergétique, quel a été le rôle de notre héros ?
3. Discuter de ce qui va arriver s’il continue sa remontée.
Exercice 6 : Super zéro
Monsieur G, assimilé à un point matériel G de masse m, décide de faire de la luge. L’ensemble arrive au niveau d’un profil circulaire avec une vitesse horizontale v0. Tant que la luge suit ce profil, elle décrit une trajectoire circulaire de rayon R=5m et est repérée par l’angle θ. On néglige tout frottement.
1. Ecrire l’équation différentielle du mouvement à l’aide du TMC.
2. En déduire l’expression de !! en fonction de θ et v0.
3. A l’aide d’une autre équation de la dynamique, donner l’expression de la réaction du sol.
4. En déduire l’angle θd à partir duquel monsieur G et la luge quittent le profil circulaire.
5. Tracer θd en fonction de v0. Indiquer la valeur limite de v0. Que se passe-t-il au delà de cette valeur ?
O + G +
G’+
