" " " E E E dpdt dvdt F F F F F F F F F dOM v " E dv dOM v v dOM F " W " # F F dOM dOM " " " " " y x z ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

M. III - DYNAMIQUE ; ÉNERGIE MÉCANIQUE

1. Théorème de l’énergie cinétique

• Soit M un point soumis à une force

!

F, on définit le travail δW de cette force lors dʼun déplacement

!

dOM par : δW =

!

F•dOM =

!

F•v dt.

Le travail de la force

!

F pour un déplacement de M₁ à M₂ est par conséquent : W₁₂ =

!

F•dOM

M₁ M₂

"

(dans le cas général, lʼintégrale dépend du trajet suivi).

La puissance fournie au point M par la force

!

F est par ailleurs :

P

⁼

!

F•v.

• Dʼaprès le principe fondamental :

!

F_i

"

⁼

!

dp dt ^{= m}

!

dv

dt ^et

!

"W_i

#

^{= m}

!

v•dv = d( 1 2^mv

2) = dE_c.

La variation de lʼénergie cinétique est donc égale à la somme des travaux des forces exercées sur le point M : ΔE_c = W.

2. Énergie potentielle

• Une force

!

F dérive dʼune énergie potentielle (notée E_p) si et seulement sʼil existe une fonction E_p(M) telle que :

!

F = -

!

"E_p (gradient de E_p), c'est-à-dire en coordonnées cartésiennes : F_x = -

!

"E_p

"x ^{; Fy = -}

!

"E_p

"y ^{; Fz = -}

!

"E_p

"z ^. Le travail infinitésimal dW =

!

F•dOM = -dE_p donne dans ces conditions une intégrale W₁₂ =

!

F•dOM

M₁ M₂

"

^{= -ΔEp} indépendante du trajet suivi pour aller

de M₁ à M₂ (la fonction E_p est une “fonction dʼétat”).

◊ remarque : si le travail W₁₂ ne dépend que du point de départ et du point dʼarrivée, alors le travail sur un trajet fermé est nul.

◊ remarque : compte tenu de la définition, seules les variations de E_p inter- viennent, donc lʼénergie potentielle est définie à une constante additive près (dépendant du choix arbitraire de la référence).

• Par exemple, pour une force de pesanteur uniforme :

!

P = m

!

g ; -dE_p = dW = m

!

g•dOM = -mg dz ;

donc E_p(z) = mgz + E_p0 où E_p0 est une constante arbitraire.

• De même, pour une force subie par une particule de charge q soumise à un champ électrostatique

!

E = E

!

u_x uniforme :

!

F = q

!

E ; -dE_p = dW = q

!

E•dOM = qE dx ;

donc E_p(x) = -qE x + E_p0 où E_p0 est une constante arbitraire.

Par contre, pour la force électrostatique causée sur q par une autre charge ponctuelle qʼ placée en O :

!

F =

!

1 4"#₀

qq $ r²

!

u_r ; -dE_p = dW =

!

1 4"#₀

qq $ r²

!

u_r •dOM =

!

1 4"#₀

qq $

r^{2 dr ;} donc E_p(r) =

!

1 4"#₀

qq $

r ^{+ Ep0 où Ep0} est une constante arbitraire.

• Dans le cas dʼun ressort disposé entre O et M :

!

F = -k.(r - ℓ₀)

!

u_r ; -dE_p = dW = -k.(r - ℓ₀)

!

u_r •dOM = -k.(r - ℓ₀) dr ; donc : E_p(r) = 1

2 ^{k.(r - ℓ0)}

2 + E_p0 où E_p0 est une constante arbitraire.

• Les forces de frottement ne dérivent pas dʼune énergie potentielle puisque le travail des frottements sur un trajet fermé est non nul. Ce travail est toujours résistant, par exemple :

!

f = -k

!

v ; δW = -k

!

v•dOM = -k v² dt ≤ 0.

◊ remarque : on dit que ces forces sont “dissipatives” d'énergie mécanique ; l'étude énergétique complète nécessite alors de prendre en compte lʼénergie thermique.

◊ remarque : pour la réaction normale

!

R au contact d'un solide, le travail est nul : dW =

!

R•dOM = 0 ; mais on ne peut pas écrire : -dE_p = dW = 0 puis E_p = E_p0 (constante arbitraire) car

!

R ≠ -

!

"E_p0 =

!

0 (

!

R ne dérive pas dʼune énergie potentielle).

& exercices n° I et II.

3. Théorème de l’énergie mécanique

• Pour un point matériel soumis uniquement à des forces dérivant dʼune énergie potentielle, on peut poser E_p =

!

E_pi

"

dʼoù on déduit le théorème de

lʼénergie cinétique : -ΔE_p = W = ΔE_c.

En définissant alors une “énergie mécanique” par E_m = E_c + E_p, la relation précédente sʼécrit : ΔE_m = 0 (lʼénergie mécanique est constante).

◊ remarque : les forces qui ne font pas varier E_m sont dites “conservatives” de lʼénergie mécanique :

◊ les forces qui dérivent dʼune énergie potentielle sont conservatives ;

◊ les forces qui ne dérivent pas dʼune énergie potentielle mais dont le travail est nul (comme la réaction normale

!

R) sont aussi conservatives de E_m.

• Pour un point soumis à :

◊ des forces

!

F_i dérivant dʼune énergie potentielle ;

◊ des forces

!

"

F _j ne dérivant pas dʼune énergie potentielle ; on peut écrire plus généralement : -ΔE_p =

!

W_i

"

^{= W -}

!

"

W _j

#

^{= ΔEc -}

!

"

W _j

#

^.

Ceci peut sʼécrire : ΔE_m =

!

"

W _j

#

(théorème de lʼénergie mécanique) où ne sont considérés à droite que les travaux des forces non conservatives de E_m.

◊ remarque : le théorème de lʼénergie mécanique nʼapporte pas dʼautre dʼinformation que le théorème de lʼénergie cinétique ; il ne fait quʼen donner une autre expression, plus pratique si on connaît lʼénergie potentielle.

4. Application à l’étude des mouvements

• Pour un tir de projectile en lʼabsence de frottement : E_m = 1 2^mv

2 + mgz est constante, par suite : v² = v₀² - 2gz ; cette relation ne résout pas le pro- blème du mouvement (calcul de v(t) et z(t)), mais peut dans certains cas apporter une information utile en évitant des calculs plus compliqués.

• Pour le glissement sans frottement dʼun point à la surface dʼune sphère : E_m = 1

2^mv

2 + mgz est constante, mais v = rθ^• et z = z₀ + r cos(θ) ; donc : rθ^•2 = 2g.[cos(θ₀) - cos(θ)] (pour un départ avec vitesse nulle).

& exercices n° III et IV.

5. Application à l’étude des équilibres

• Puisque lʼénergie cinétique est toujours positive, le point étudié ne peut pas se déplacer dans les régions de lʼespace où E_p(M) > E_m (“barrière” et “puits”

dʼénergie potentielle) :

Dans le cas dʼun puits dʼénergie potentielle, le point oscille entre des positions extrêmes (oscillations amorties sʼil y a en plus des frottements).

• Le sens de la force

!

F = -

!

"E_p = -

!

dE_p dx

!

u_x montre que les équilibres stables correspondent aux minimums relatifs de E_p (“force de rappel”) et que les maximums relatifs correspondent à des équilibres instables.

• Soit par exemple un point M mobile sans frottement sur un cercle de rayon R, maintenu depuis le point A par un ressort de masse négligeable, de raideur k et de longueur “à vide” ℓ₀ << R.

On obtient : E_p = 1

2^{k.(ℓ - ℓ0)}

2 + mgz où ℓ = 2R

!

cos "

2

#

$% &

'( et z = R sin(θ) (la réac- tion normale a un travail nul, quʼon peut omettre dans le raisonnement basé sur lʼénergie).

• On peut dans ce cas décrire la position avec la variable θ car le déplace- ment d'une longueur d'arc dL = R dθ est simplement proportionnel à dθ (cela ne change ni le signe, ni l'annulation des dérivées).

• Lʼéquilibre impose E_p extremum : dE_p

d! = -k.(ℓ - ℓ₀) R

!

sin "

2

#

$% &

'( + mg R cos(θ) = 0.

Cette équation se simplifie si ℓ ≈ R >> ℓ₀ : dE_p

d! ^{≈ -k R}

2 sin(θ) + mg R cos(θ) = 0 ; on en déduit les deux points M et Mʼ tels que : θ =

!

arctan mg kR

"

#$ %

&

' ^{[mod π].}

• Lʼéquilibre stable impose E_p minimum : d²E_p

d!^{2 ≈ -k R}

2 cos(θ) - mg R sin(θ) > 0.

Compte tenu de la relation vérifiée à lʼéquilibre, cette relation correspond à : mg

kR

!

"

# $

%&

2

+1

!

"

##

$

%

&

&^{. cos(θ}) < 0 ;

lʼéquilibre est donc stable en Mʼ et instable en M.

& exercices n° V et VI.