Exercices suppl´ementaires. Exercice 7. Calculer les polynˆomes d’interpolation de la fonction f dans les cas ci-dessous et donner une majoration de l’erreur |f (x)

Exercices suppl´ementaires.

Exercice 7.Calculer les polynˆomes d’interpolation de la fonctionf dans les cas ci-dessous et donner une majoration de l’erreur

|f(x) ⇧nf(x)|pourx2[x0, xn].

1. f(x) =e^2xcos(3x), x0= 0, x1= 0.3, x2= 0.6, n= 2.

2. f(x) = lnx, x0= 2, x1= 2.4, x2= 2.6, n= 2.

3. f(x) = cos(x) + sin(x), x0= 0, x1= 0.25, x2= 0.5, x3= 1, n= 3.

Exercice 8.Soit⇧3(x)le polynˆome interpolanty0= 0, y1=↵, y2= 3ety3= 2aux nœudsx0= 0, x1= 0.5, x2= 1etx3= 2.

Sachant que le coefficient dex³dans ⇧3(x)vaut6, donner la valeur de↵.

Exercice 9.Montrer que le polynˆome interpolantyi, i= 0,· · ·,5 aux nœudsxi, i= 0,· · · ,5, donn´es ci-dessous, est de degr´e 3.

xi 2 1 0 1 2 3

yi 1 4 11 16 13 4

Exercice 10. Soit f une fonction dont on connaˆıt la valeur en certains points x0, x1, x2, et x3 comme indiqu´e `a la table des di↵´erences divis´ees ci-dessous.

xi f(xi) f[xi, xi+1] f[xi,· · ·, xi+2] f[xi,· · ·, xi+3] 1.9 0.94630

1.5 0.99749 0.127975

2.3 0.74571 0.314725 ↵

2.7 0,42738 0.795824 1. Calculer↵, et .

2. `A l’aide de cette table, calculer une approximation def(1.8) en utilisant le polynˆome d’interpolation aux nœudsx0, x1 etx2. 3. Donner une estimation de l’erreur d’interpolation enx= 1.8.

4. Sachant quef(x) = sin(x), donner une majoration de la valeur absolue de l’erreur d’interpolation enx= 1.8.

5. Quel polynˆome est le plus pr´ecis, celui trouv´e en 2., ou le polynˆome de Lagrange interpolantf aux nœudsx1, x2etx3? Justifier votre r´eponse.

Exercice 11.Soientx0, x1,· · ·, xn des points de l’intervalle[0,1]tels quex0= 0, xn= 1etxj+1 xj=hpourj= 0,· · · , n 1.

Sur chaque sous-intervalle[xj, xj+1]on construit une interpolation lin´eaire de la fonctionf(x) =e^x. 1. On posegj(x) = (x jh)(x (j+ 1)h)pourx2[xj, xj+1]. Montrer que max

x2[xj,xj+1]|gj(x)| h² 4 . 2. En d´eduire une majoration de l’erreur|f(x) ⇧1f(x)|sur l’intervalle[xj, xj+1].

3. Quelle doit ˆetre la longueurhde chaque sous-intervalle pour que l’erreur entref et son polynˆome d’interpolation lin´eaire par morceaux soit inf´erieure ou ´egale `a10 ⁶?

Exercice 12.(Stabilit´e) Supposons que les donn´ees yi sont erron´ees et qu’on calcule en fait avecyˆi =yi(1 +"i)o`u|"i|< eps (eps´etant le plus petit nombre positif tel que(1 +eps)>1 sur l’ordinateur). Les polynˆomes passant par(xi, yi)et(xi,yˆi)sont respectivementp(x) =Pn

i=0yi`i(x), et p(x) =ˆ Pn

i=0yˆi`i(x).Montrer qu’alors

|p(x)ˆ p(x)|eps( max

i=0,...,n|yi|)⇤n avec ⇤n= max

x2[a,b]

Xn

i=0

|`i(x)|.

Que peut-on en d´eduire ?

Exercice 13.Soit une famille de nœuds(xi)0in sym´etriques par rapport `a l’origine.

1. Montrer que le polynˆome d’interpolation de Lagrange d’une fonction paire aux nœuds(xi)0in est pair.

2. En d´eduire le polynˆome d’interpolation de Lagrange de la fonctionf(x) = cosxaux nœuds ( ^⇡₂, ^⇡₃,0,^⇡₃,^⇡₂).

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Exercice 14. Soitf(x) = sin(^⇡₂x) cos(⇡x) et soient x0, x1,· · ·, xn des points de l’intervalle [0,5] tels que x0 = 0, xn = 5et xj+1 xj=h >0,pour j= 0, . . . , n 1.

Sur chacun des nsous-intervalles[xj, xj+1] on construit une interpolation lin´eaire de f. Le polynˆome par morceaux de degr´e1 ainsi obtenu est not´e⇧e1,nf.

On d´esigne par⇧^j₁f le polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a1 interpolantf aux nœuds xj etxj+1. Le polynˆome⇧e1,nf est d´efinit comme suit :⇧e1,nf(x) =⇧^j₁f(x)lorsquex2[xj, xj+1], j= 0, . . . , n 1.

1. Illustrer graphiquement l’approximation def par⇧e1,nf.

2. On posegj(x) = (x xj)(x xj+1)pour x2[xj, xj+1]. Montrer que pour tout x2[xj, xj+1],gj(x) h² 4 . 3. Donner une majoration de l’erreur|f(x) ⇧^j₁f(x)|lorsquex2[xj, xj+1].

4. Quelle doit ˆetre la longueurhde chaque sous-intervalle pour que l’erreur entref et son polynˆome d’interpolation lin´eaire par morceaux⇧e1,nf soit inf´erieure ou ´egale `a10 ⁶?

5. Donner une approximation def(¹₄)et def(⁹₂)`a l’aide de ⇧e1,5f.

6. Donner une approximation def(¹₄)`a l’aide du polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2,⇧2f, interpolantf en des nœuds que vous aurez convenablement choisis parmix0, x1, . . . , x5. Puis, calculer une approximation def(⁹₂)`a l’aide de ⇧2f.

7. Quelle m´ethode d’interpolation choisiriez-vous pour obtenir une approximation def en di↵´erents points de[0,5]? Exercice 15.Soit"2]0,1[. Soitf 2C¹(]0,1[). On posea=f(0)etb=f(1).

1. Montrer que le polynˆomeP" d´efini ci-dessous

P"(x) =a+1

"(f(") f(0))x+ b a

1 "

1

1 "

f(") f(0)

" x(x ").

est le polynˆome d’interpolation de LagrangeP" interpolantf aux nœuds0,"et1.

2. En d´eduire que

"lim!0⁺P"(x) =P(x),

avecP(x) = (b a f⁰(0))x²+f⁰(0)x+a.

3. V´erifier queP(0) =a, P⁰(0) =f⁰(0)etP(1) =b.

Le polynˆomeP est appel´e polynˆome d’interpolation d’Hermite.

4. Application num´erique. (Cette partie peut ˆetre trait´ee sans avoir r´esolu les deux questions pr´ec´edentes.) On posef(x) =p

1 +x.

a. Donner le polynˆome d’interpolation d’HermiteP tel queP(0) = 1, P⁰(0) = ¹₂ etP(1) =p 2.

b. Donner une approximation def(¹₄).

c. Quel est l’avantage de l’interpolation d’Hermite par rapport `a l’interpolation de Lagrange ?

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