...............................................................................................................................................................................................................................................................

(1)

1/30 -

Chapitre n°5 : Fonction exponentielle Objectifs :

Niveau

C5.a 1 R.O.C:unicité de la fonction exponentielle.

C5.b 1 Connaître et utiliser les variations de la fonction exponentielle.

C5.c 1 Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

C5.d 2 Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

C5.e 1 Maîtrise des propriétés avec la notation ex.

C5.f 1 R.O.C:limites de la fonction exponentielle en -∞ et +∞

C5.g 1 Limites avec la fonction exponentielle.

C5.h 2 Limites avec la fonction exponentielle.

C5.i 1 Équations et inéquations comportant des exponentielles.

C5.j 1 Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle.

Activité d'approche n°1 : Approche de la fonction exponentielle

Léonhard EULER (1707-1783) est un mathématicien suisse à qui nous devons beaucoup de notations mathématiques utilisées de nos jours :

- il fut le premier à écrire f(x) pour désigner l’image de x par la fonction f ;

- il nota i le nombre imaginaire utilisé dans le chapitre des nombres imaginaires - il introduisit la lettre e pour la base de la fonction exponentielle ;

- il utilisa la lettre  pour désigner une somme.

- …

Il est l’un des plus grands et des plus complets mathématiciens du XVIII

^e

siècle. Il fit de nombreuses découvertes en analyse, en calcul infinitésimale, en théorie des graphes, en mécanique, en dynamique des fluides, en optique, en astronomie …

Soit f une fonction dérivable sur IR vérifiant : (1) f(0) = 1 et,

(2) pour tout réel x , f '(x)=f(x) .

Le but de cette activité est de représenter une fonction f qui satisfasse à ces deux conditions, en utilisant une suite.

Soit h un nombre réel très petit. On pose :

x

0

=0 et, pour tout n entier naturel, x

n+1

=x

n

+h.

y

0

=f (0) et, pour tout n entier naturel , y

n

=f (x

n

).

1. Calculer y

1

en fonction de f(h).

...

2. Démontrer que lim

h

→

⁰

y

_n+1

− y

_n

h = y

_n

.

...

1/30

(2)

(3)

2/30 -

...

... 3. On interprète la relation précédente de la façon suivante : pour h suffisamment petit,

y

_n+1

− y

_n

h ≈ y

_n

. En déduire une relation qui permette de calculer une valeur approchée de y

n+1

en fonction de y

n

et de h , puis une relation entre f(x

n

) , f(x

n+1

) , et h . Rappeler aussi la relation entre x

n

, x

n+1

, et h .

...

4. Reproduire la page de tableur ci-contre (sur tablette, téléphone, ou PC).

5. Quelle formule faut-il écrire en B3 pour obtenir x

1

? …...

Recopier cette formule jusqu'en B21.

6. Entrer la valeur de y

0

en C2. Quelle formule faut-il écrire en C3 pour obtenir une approximation de y

1

?

…...…

...………...

Recopier cette formule jusqu'en C21.

7. Modifier la valeur de h en D4 et vérifier que cela modifie les valeurs des

approximations de y

n

.

8. En prenant h=0,001 , calculer une approximation de f (1) :

…...

2/30

(4)

3/30 -

Cours n°1 :Définition de la fonction exponentielle et propriétés I) Définition de la fonction exponentielle

Propriété n°1 (Unicité et existence de la fonction exponentielle) Il existe une unique fonction f , définie et dérivable sur R , telle que ……. =…... et

f(0)=…..

Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et est notée exp . On a donc : pour tout réel x , exp'(x)=………… et exp'(0)=…

Démonstration (R.O.C.) :

● L'existence est admise.

● Démonstration de l'unicité :

=> On montre d'abord que f ne s'annule pas sur I R : ASTUCE : On définit : (x)=f(x)×f(–x).

Alors  ' (x) = …...

Donc  ' (x) = ….

Donc  (x) est constante.

Or  (0) = …...=...car f(0)=....

Donc  (x) = …... (1)

Supposons qu'il existe a tel que f(a)=0 (2) .

Alors  (a) = …... = …... ce qui est en contradiction avec (1) .

Donc (2) est impossible. Donc f ne ………

=> On démontre l’Unicité :

ASTUCE : Soit g une autre fonction telle que g '=g et g(0)=1 . Calculons ( ^g f )

^'

^(on

peut définir une telle fonction car f ………..)

...

Donc ( ^g f ) ⁽ ^x ⁾ ⁼ ...

Or ( ^g f ) ⁽ ⁰ ⁾ =...

Donc : …...………..

...

Propriété n°2

1. La fonction exponentielle est ………... sur IR

3/30

(5)

4/30 -

2. La fonction exponentielle est ………... sur IR Démonstration :

D'après la démonstration précédente, f ne s'a ... .

De plus, f (0) = …... Donc f est …... sur IR .

De plus, comme f ' = f , f ' est aussi …... sur IR . Donc f est …... sur IR .

II) Propriétés de la fonction exponentielle Propriété n°3

Pour tout réel x , exp

⁽

− x

)

= ...

...

Démonstration :

ASTUCE : On définit :  (x)= exp (x) × ^exp (–x) .

D'après la démonstration de la propriété n°1,  (x) est constante et vaut 1 . D'où la propriété.

Propriété n°4

Pour tous réels a et b , exp(a + b) =...

Démonstration : On définit : g

(

x

)

= exp

(

x + b

)

exp

⁽

^x

⁾

On calcule la dérivée de g :

...

g'(x)= ... et g(0)=...………. donc g est ...………… et vaut ... , quelque soit x .

D'où :...

...

Exemple n°1 : Simplifier exp

(

x + 2

)

exp

⁽

² ^x

⁾

:

...

4/30

(6)

5/30 -

...

Exemple n°2 :

Étudier les variations de f (x)=exp(x)+2x :

...

... ...

...

5/30

(7)

6/30 -

Se tester n°1 - C5.1 (sur 6)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C5.a 1 R.O.C : unicité de la fonction exponentielle.

C5.b 1 Connaître et utiliser les variations de la fonction

exponentielle.

C5.c 1 Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle

d'une somme.

Ex.1 (/3)

Démontrer que la fonction définie et dérivable sur R , telle que f '=f et f(0)=1 est unique.

…...

...

Ex.2 (/1)

Simplifier : exp

(

2 x +1

)

exp

(

5 x

)

...

Ex.3 (/2)

Étudier les variations de f

(

x

)

= exp ( exp

(

2

)

× x )+ exp

(

3

)

× x (on ne s’occupera pas des limites ):

...

6/30

(8)

7/30 -

...

... ...

...

... ...

...

7/30

(9)

8/30 -

Résultats Ex.1 : voir cours.

Ex.2 : exp

(

− 3 x + 1

)

.

Ex.3 : croissante sur ℝ .

Interrogation n°1 Objectifs

C5.a_Niv1 :R.O.C:unicité de la fonction exponentielle.

C5.b_Niv1 :Connaître et utiliser les variations de la fonction exponentielle.

C5.c_Niv1 :Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

Exercice n°1 Ex.1 p.114

Cours n°2 : Exponentielle (propriétés) Propriété n°5

Pour tous réels a et b , exp(a – b)= ...

...

Démonstration

Conséquence des propriétés n°3 et 4

...

Propriété n°6

exp(na)= ...

Démonstration :

...

...………..

...

8/30

(10)

9/30 -

...

...………..

...

...………..

...

Exemple n°3 Exprimer exp

(

3 x− 2

)

exp

(

2 x

)

en fonction de exp(x) :

...

... ...

...

... ...

...

9/30

(11)

10/30 -

Se tester n°2 - C5_2 (/2)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C5.d 2 Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

Ex.1

Simplifier exp

(

8 x – 5

)

exp

(

8 x

)

.

...

... ...

...

... ...

...

10/30

(12)

(13)

(14)

(15)

11/30 -

Résultats Ex.1 : exp

(

0 x − 5

)

.

Interrogation n°2 Objectifs

C5.d_Niv2 :Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

Exercice n°2 Ex.21 p.114 Exercice n°3*

Ex.63 p.115

Cours n°3 : notation e^x III) Notation e

^x

Définition n°1

L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e , c'est à dire exp(1)=e

Pour tout nombre entier n , on a exp(n) = exp(n × 1) = [exp(1)]

ⁿ

= e

ⁿ

On étend cette définition aux nombres réels : Définition n°2

Pour tout nombre réel x , l'image de x par la fonction exponentielle se note e

^x

Les propriétés, déjà démontrées, s'écrivent avec cette notation : Propriété n°7

Soient x, a et b trois nombres réels et n un entier relatif.

1. ( e

^x

)

^'

= ... . 2. e

⁰

= ... . 3. e

^a+b

=... . 4. e

^−a

= ...

... et e

^a−b

= ...

...

5. e

^na

= ... .

Exemple n°4 :

Simplifier les expressions suivantes : a. e

^x

× e

^–^x

...

b. (e

^2x

)

²

×( e

^−x

)

³

…...

c. e

³^x

× e

^4x

e

²^x−1

…...

Exemple n°5 :

11/30

(16)

12/30 -

Démontrer, pour tout nombre réel x, que e

^x

1 + e

^x

= 1 1 + e

^−x

...

12/30

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

13/30 -

Se tester n°3 - C5_3 (/5)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C5.e 1 Maîtrise des propriétés avec la notation e

^x

.

Ex.1

Simplifier les expressions suivantes : a.

(/1)

e

^4x

×e

^–^3x

^:

...

b.

(/1)

(e

^2x

)

⁴

:

...

c.

(/2)

e

⁷^x+2

× e

^2x⁺³

e

^3x⁺²

:

...

Ex.2

(/1)

Démontrer, pour tout nombre réel x, que e

^7x

1+e

⁷^x

= 1 1+e

⁻⁷^x

...

13/30

(23)

14/30 -

Résultats Ex.1 : e

^x

; e

^8x

;e

⁶^x+3

.

Ex.2 : Résultat donné.

Interrogation n°3 Objectifs

C5.e_Niv1 :Maîtrise des propriétés avec la notation e

^x

. Exercice n°4

Ex.67 p.116 Exercice n°5

Ex.70 p.116

Cours n°4 : Limites de la fonction exponentielle IV) Limites de la fonction exponentielle

Propriété n°8 1. lim

x

→+∞ e

^x

= .... . et 2. lim

x

→−∞ e

^x

= .. .

Démonstration (R.O.C) : 1. Démonstration de lim

x

→+∞ e

^x

= .. . :

ASTUCE : Soit f(x) = e

^x

– x . f est définie, continue, et dérivable sur IR . Montrer que f est croissante sur [0;+ ∞[ :

...

En déduire que, pour x ∈ ^{[0;+ ∞[} ^, ^e

^x

^{>x :}

...

Conclure :

…...

...

2. Démonstration de lim

x

→−∞ e

^x

=.. . lim

x

→−∞ e

^x

= lim

x

→−∞

1 e

^−x

= lim

x

→+∞

1 e

^x

= .... .

Propriété n°9 1. lim

x

→+∞

e

^x

x =... . , 2. lim

x

→−∞ xe

^x

= .. . 3. lim

x

→ 0 e

^x

−1

x =.. . 4. lim

x

→+∞

x e

^x

= ... . Démonstration :

14/30

(24)

15/30 -

1. Démonstration de lim

x

→+∞

e

^x

x = ... . : Soit f(x) = e

^x

– ^x

²

2 .

Montrer que f est croissante sur [0;+ ∞[ :

...

En déduire que, pour x ∈ ^{[0;+ ∞[} ^, ^e

^x

^> ^x ₂

²

...

Conclure :

…...

...

…...

...

…...

...

2. Démonstration de lim

x

→−∞ xe

^x

= .. .

xe

^x

= ^x

e

^−x

= – ^...

...

3. Démonstration de lim

x

→0 e

^x

− 1

x =.. .

Le nombre dérivé en 0 de la fonction x → e

^x

vaut …... et

...

Propriété n°10 (tableau de variation et représentation graphique)

x – ∞ + ∞

f '

(

x

)

...

f

(

x

)

….. …..

15/30

(25)

16/30 -

Exemple n°6

Calculer les limites en – ∞ et en +∞ de la fonction f définie sur IR par

f (x)=e

^x

– x + 1 .

...

Exemple n°7 Calculer lim

x

→+∞

e

^x

x−1 =.. .

...

Exemple n°8 Calculer lim

x

→+∞

e

^x

− 1 e

^x

+1 = .. .

...

Exemple n°9 Calculer lim

x

→ 0

⁺

e

^x

−1

x

²

=.. .

...

16/30

(26)

17/30 -

Se tester n°4 - C5_4 (/11)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C5.f 1 R.O.C:limites de la fonction exponentielle en -∞ et +∞

C5.g 1 Limites avec la fonction exponentielle.

C5.h 2 Limites avec la fonction exponentielle.

Ex.1 (/3)

1.

(/1)

Compléter : 1. lim

x

→+∞ e

^x

=.... . et 2. lim

x

→−∞ e

^x

=.. . 2.

(/2)

Démontrer ces propriétés.

...

Ex.2 (/3)

Calculer les limites en – ∞ et en +∞ de la fonction f définie sur IR par

f (x)=e

^x

– 5x + 4

...

17/30

(27)

18/30 -

...

Ex.3 (/1,5)

Étudier la limite en +∞ de g(x) = ^e

^x

2 x−1 :

...

Ex.4 (/1,5)

Étudier la limite en +∞ de h(x) = ⁴ ^e

^x

⁻⁵

8 e

^x

+1 :

...

Ex.5 (/2)

18/30

(28)

19/30 -

Étudier la limite en 0

⁺

de j(x) = ⁶ ^e

^x

⁻³

x :

...

19/30

(29)

20/30 -

Résultats Ex.1 : 1. Voir cours. 2. Idem.

Ex.2 : lim

x→−∞

f

(

x

)

= + ∞. ; lim

x→+∞

f

(

x

)

= + ∞.

Ex.3 : lim

x→+∞

g

(

x

)

= + ∞.

Ex.4 : lim

x→+∞

h

(

x

)

= 1 2 . Ex.5 : lim

x→0⁺

j

(

x

)

= 6.

Interrogation n°4 Objectifs

C5.f_Niv1 :R.O.C:limites de la fonction exponentielle en -∞ et +∞

C5.g_Niv1 :Limites avec la fonction exponentielle.

C5.h_Niv2 :Limites avec la fonction exponentielle.

Exercice n°6 Ex.19 p.114 Exercice n°7*

Ex.96 p.117

Cours n°5 : Équations et inéquations comportant la fonction exponentielle.

V) Équations et inéquations comportant la fonction exponentielle.

Propriété n°11

1. Soient a et b deux expressions. Alors l'équation e

^a

= e

^b

est équivalente à l'équation

…... .

2. Soient a et b deux expressions. Alors l'inéquation e

^a

<e

^b

est équivalente à l'inéquation …... .

Démonstration :

La fonction exponentielle est …...

Exemple n°9 Résoudre e

^–x+7

=e

^x+3

:

...

Exemple n°10 Résoudre e

^2–x

=1 :

...

20/30

(30)

21/30 -

Exemple n°11 Résoudre e

^2x

+2e

^x

– 3= 0.

^:

...

Exemple n°12 Résoudre e

^2x

 1

...

21/30

(31)

22/30 -

Se tester n°5 - C5_5 (/7)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C5.i 1 Équations et inéquations comportant des

exponentielles.

Ex.1 (/1)

Résoudre e

^–4x+8

=e

^3x+2

:

...

Ex.2 (/1)

Résoudre e

^5–4x

=1 :

...

Ex.3 (/3)

Résoudre e

^2x

+3e

^x

– 4 = 0 :

...

22/30

(32)

23/30 - ...

Exercice n°4 (/2) Résoudre e

^2x

 e

^7–8x

:

...

23/30

(33)

24/30 -

Résultats Ex.1 : 6

7 . Ex.2 : ⁵

4 . Ex.3 : 0 .

Ex.4 : ]– ∞ ; ₁₀ ⁷ [.

Interrogation n°5 Objectifs

C5.i_Niv1 :Équations et inéquations comportant des exponentielles.

Exercice n°8 Ex.23 p.114 Exercice n°9

Ex.80 p.116

Cours n°6 : Exponentielle de fonctions VI) Exponentielle de fonctions

Propriété n°12 (admise)

Soit u une fonction définie, continue et dérivable sur I .

La fonction e

^u(x)

est dérivable sur I et sa dérivée est …...

Exemple n°13

Calculer la dérivée de f(x) = e

^–^x

.

...

Exemple n°14

Calculer la dérivée de f(x) = e

^x²+x

.

...

Exemple n°15

Calculer la dérivée de f(t) = (3 – t)e

^t²

.

...

24/30

(34)

25/30 -

Se tester n°6 - C5_6 (/4)

Objectifs :

Niveau 1 2 3 4

C5.j 1 Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle.

Ex.1 (/1)

Calculer la dérivée de f(x) = e

^–^5x+2

.

...

Ex.2 (/1)

Calculer la dérivée de f(t) = e

^5t²+6t+8

...

Ex.3 (/2)

Calculer la dérivée de f(b) = (8 – 4b)e

^2b²+8b+8

.

...

...…

25/30

(35)

26/30 -

Résultats Ex.1 : f ’(x) = −5 e

⁻⁵^x+2

.

Ex.2 : f ’(t) =

(

10 t+6

)

e

⁵^t²^+6t+8

.

Ex.3 : f ’(b) =

(

60 + 0 b – 16b ²

)

e

^2b²^+8b+8

.

Interrogation n°6 Objectifs

C5.j_Niv1 : Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle.

Exercice n°10 Ex.47 p.115 Exercice n°11**

Ex.130 p.119 Exercice n°12***

Sujet B p.127 Exercice n°13***

Sujet C p.127

26/30

(36)

27/30 -

Résultats ou indices Ex.1 (1 p.114) : a.V b.F

Ex.2 (21 p.114) : 1. 0 2. 0

Ex.3 (63 p.115) : 1. croissante sur ]1 – _√ 2 ; 1 + _√ 2 [ décroissante ailleurs. 2.

décroissante sur ]1 – _√ 3 ; 1 + _√ 3 [ , croissante ailleurs.

Ex.4 (67 p.116) : 1. e

⁷

2. e

^2x

3. e

^x

.

Ex.5 (70 p.116) : multiplier numérateur et dénominateur par e

^–^x

...

Ex.6 (19 p.114) : 1. e

²

2. e

⁴

3. e

^4x

4. e

²

.

Ex.7 (96 p.117) : 1. –∞ et +∞ 2. –2 et 1 . 3. –∞ et 0. 4. –∞ et +∞

Ex.8 (23 p.114) : 1. 1

3 2. - 1 4

Ex.9 (80 p.116) : 1. 1 et 4 2. 0 3. pas de solution. 4. -1 Ex.10 (47 p.115) : 1. +∞ et 0 2. 0 et +∞

Ex.11 (130 p.119) : 1. croissante sur R. 2.a. par recurrence. 2.b. par recurrence 2.c. croissante et majorée par 3 , donc elle converge.

Ex.12 (B p.127) : P.A.1. décroissante sur ]–∞;–2] et croissante sur ]–2 ; +∞[ . lim

x

→

^+∞

f

(

x

)

= 0 et lim

x

→

^+∞

f

(

x

)

=+∞ 2.

P.B.1.a. affine. b. (-1;0) et (0;1).

ils appartiennent à c

k

.

2. c

k+1

est au dessus de c

k

sur ]–∞;–1] et sur ]0 ;+∞] . c

k+1

est en dessous de c

k

sur

[–1;0] 3.a. f'

k

(x) est du signe de kx + k +1.

3.b. Si k>0, f

k

est décroissante sur

] – ∞ ; ⁻ ^k ⁻ ¹

k ] et f

k

est croissante sur

] ^{– k –} ¹

k ; +∞[ . Si k<0, f

k

est croissante sur ] – ∞ ; ^−k ⁻¹

k ] et f

k

est décroissante sur

] ^{– k –} ¹

k ; +∞[.

Ex.13 (C p.127) : P.A.1. e

^x

= ¹ _x . 2.a. strictement croissante sur R. 2.b.

lim

x

→

^−∞

f

(

x

)

=−∞ et lim

x

→

^+∞

f

(

x

)

=+∞ … 2.c. α ∈ [ ¹

2 ;1] 2.d. f(x)<0 sur [0 ; α] .

P.B.1. f(x)=0 . 2. g(α)=α . 3. g est croissante sur [0 ; α] . P.C.1. récurrence. 2. la suite est croissante et majorée par α, donc convergente. 3. Correctif : il faut calculer u

4

à 10

^–6

près à la question b., pas à la question a. b. u

4

≈ 0,567143 .

27/30

(37)

28/30 -

28/30

Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.(vous ne serez PAS pénalisé)

Date d’aujourd’hui : ...……….

Prénom et classe :...………

---

*

REPASSES D’INTERROGATIONS

(Cn°chap.n°cours) : C. ;C. ;C. ;C.

---

* TRAVAIL PERSONNEL (2 travaux min.+résum.de cours, sf exception ou mot daté et signé)

- Activité n°... : Question n° : … / … / … / … / … - Cours n°… : Exemple n° : … / … / … / … / … - Résumé du Cours n° : ...

- Se tester du Cours n°..., Ex. n° : … / … / … / … / … - Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Prénom et classe :...………

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(Cn°chap.n°cours) : C. ;C. ;C. ;C.

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Prénom et classe :...………

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(Cn°chap.n°cours) : C. ;C. ;C. ;C.

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(Cn°chap.n°cours) : C. ;C. ;C. ;C.

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(Cn°chap.n°cours) : C. ;C. ;C. ;C.

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(Cn°chap.n°cours) : C. ;C. ;C. ;C.

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29/30 -

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(Cn°chap.n°cours) : C. ;C. ;C. ;C.

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