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Cours n°1 : Définition de la fonction exponentielle et propriétés I) Définition de la fonction exponentielle
Propriété n°1 (Unicité et existence de la fonction exponentielle) Il existe une unique fonction f, définie et dérivable sur R , telle que …….=…... et
f(0)=…..
Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et est notée exp. On a donc : pour tout réel x, exp'(x)=………… et exp'(0)=…
Démonstration (R.O.C.) :
● L'existence est admise.
● Démonstration de l'unicité :
=> On montre d'abord que f ne s'annule pas sur IR : ASTUCE : On définit : (x)=f(x)×f(–x).
Alors ' (x) = …...
Donc ' (x) = ….
Donc (x) est constante.
Or (0) =…...=...car f(0)=....
Donc (x) = …... (1)
Supposons qu'il existe a tel que f(a)=0 (2).
Alors (a) = …... = …... ce qui est en contradiction avec (1) .
Donc (2) est impossible. Donc f ne ………
=> On démontre l’Unicité :
ASTUCE : Soit g une autre fonction telle que g '=g et g(0)=1. Calculons
(
gf)
' (onpeut définir une telle fonction car f ………..)
...
...
...
...
Donc
(
gf)
(x)=...Or
(
gf)
(0)=...Donc : …...………..
...
...
...
...
Propriété n°2
1. La fonction exponentielle est ………... sur IR
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2. La fonction exponentielle est ………... sur IR
Démonstration :
D'après la démonstration précédente, f ne s'a... . De plus, f (0) = …... Donc f est …... sur IR .
De plus, comme f '= f , f ' est aussi …... sur IR . Donc f est …... sur IR.
II) Propriétés de la fonction exponentielle Propriété n°3
Pour tout réel x, exp(−x)= ...
...
Démonstration : On définit : (x)=exp(x)×exp(–x).
D'après la démonstration de la propriété n°1, (x) est constante et vaut 1. D'où la propriété.
Propriété n°4
Pour tous réels a et b, exp(a + b)=...
Démonstration : On définit : g(x)=exp(x+b)
exp(x) On calcule la dérivée de g :
...
...
...
...
...
...
g'(x)=... et g(0)=...………. donc g est ...………… et vaut ... , quelque soit x.
D'où :...
...
...
...
...
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Exemple n°1 : Simplifier exp(x+2)
expx :
...
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Exemple n°2 :
Étudier les variations de f (x)=exp(x)+2x:
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......
......
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