∀x ≥ 0, g(x) = f (x + 1) − f (x); ∀x > 0, φ(x) = f (x) x

(1)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Etude locale des fonctions

1.

^(Eli01)

Soit f dénie sur [0, +∞[ et bornée sur tout inter- valle de longueur 1, soit g et φ dénis par

∀x ≥ 0, g(x) = f (x + 1) − f (x); ∀x > 0, φ(x) = f (x) x

On suppose g −−→ ^+∞ l ∈ R, montrer que φ −−→ ^+∞ l . Donner un exemple de fonction montrant que l'hypo- thèse bornée sur les intervalles de longueur 1 est indispensable.

2.

^(Eli02)

Soit f dénie dans [0, +∞[ par

f (x) =







1 si x = 0 b 1

x cx si x 6= 0

Étudier la continuité de f aux points qui ne sont ni 0 ni des ¹ _p pour p ∈ N ^∗ . Étudier la continuité aux points ¹ _p pour p ∈ N ^∗ . Tracer le graphe de f . Étudier la continuité de f en 0 .

3.

(Eli03)

Étudier la continuité en tout point des applications suivantes :

f (x) =

cos x si x ∈ Q sin x si x ∈ R − Q g(x) =

1

q si x = ^p _q 0 si x ∈ R − Q

Pour l'application g , les entiers p et q sont premiers entre eux.

4.

(Eli04)

On cherche à déterminer les fonctions f de R dans R qui s'expriment avec f ◦ ϕ pour diverses fonctions ϕ et diverses hypothèses sur f .

a. f continue en 0, ϕ(x) = 3x et f = f ◦ ϕ . b. f continue en 1, ϕ(x) = x ² et f = −f ◦ ϕ .

c. Pour a et b réels ( |a| 6= 1 ), f continue en u = _1−a ^b , ϕ(x) = ax + b et f = f ◦ ϕ .

d. f continue en 0 et 1 , ϕ(x) = x ² et f = f ◦ ϕ . 5.

(Eli05)

Discuter suivant les réels a et b des limites stric-

tement à droite et à gauche de 0 des fonctions de x suivantes :

x → x a b b

x c, x → b x b x

a c

6.

^(Eli06)

Soit f une fonction continue sur un segment [a, b]

qui s'annule au moins une fois. Montrer que l'ensemble des points où elle s'annule admet un plus petit élément.

7.

^(Eli07)

Soit f une fonction dénie dans ]x 0 − α, x 0 + α[ à valeurs réelles et continue en x 0 . Montrer que la fonction

h → f (x 0 + h) − f (x 0 − h)

admet une limite nie (à préciser) en 0 . Que dire de la réciproque ?

8.

^(Eli08)

Montrer qu'une fonction périodique qui admet en +∞ une limite nie est constante.

Montrer qu'il n'existe pas de fonction périodique qui di- verge vers +∞ en +∞ .

Donner un exemple de fonction périodique non bornée.

9.

^(Eli09)

Soit f une fonction monotone dénie dans un seg- ment [a, b] .

a. On considère une famille nie quelconque : a < x 1 < x 2 < · · · < x n < b

Établir l'inégalité

n

X

k=1

|f d (x k ) − f g (x k )| ≤ |f (b) − f (a)|

b. Pour tout n ∈ N ^∗ , on note

D _n =

x ∈]a, b[ tel que |f _d (x) − f _g (x)| > 1 n

Montrer que D n est ni.

c. Montrer que l'ensemble des points de discontinuité de f est ni ou en bijection avec N.

10.

^(Eli10)

Étudier la convergence en 0 des fonctions sui- vantes :

xb 1

x c √

xb 1 x c

b 1 x c + x b 1

x c − x où bxc désigne la partie entière de x .

11.

^(Eli11)

On dénit une fonction f de [0, 1] dans [0, 1] en posant :

∀x ∈ [0, 1] : f (x) =

( x si x ∈ Q 1 − x si x 6∈ Q

Étudier la continuité de f en un a ∈ [0, 1] . Montrer que f est bijective. Donner un exemple d'application bijective de [0, 1] dans [0, 1] et partout discontinue.

12.

^(Eli12)

Soit f et g dénies dans un intervalle I , à valeurs réelles et telles que :

f décroissante , ∀x ∈ I, g(x) = xf(x), g croissante.

a. On suppose I = [0, +∞[ et qu'il existe α > 0 tel que f (α) = 0 . Montrer que f est la fonction nulle.

b. On suppose I =]0, +∞[ . Montrer que f et g sont continues en a > 0 .

13.

^(Eli13)

Fonctions semi-continues.

Soit I un intervalle de R et a ∈ I . Une fonction f dénie dans I est dite semi-continue supérieurement en a si et seulement si :

∀ε > 0, ∃α > 0 tq :

∀x ∈ I, |x − a| ≤ α ⇒ f(x) − f (a) ≤ ε De même, une fonction f dénie dans I est dite semi- continue inférieurement en a si et seulement si :

∀ε > 0, ∃α > 0 tq :

∀x ∈ I, |x − a| ≤ α ⇒ ε ≤ f (x) − f (a)

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai _fex_lipdf du 28 février 2020

(2)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Etude locale des fonctions

Pour tout n ∈ N, f n est une fonction continue dans I . On suppose que de plus que pour tout a ∈ I , la suite de nombre réels (f n (a)) _n∈

N est bornée.

Montrer que l'on peut dénir dans I des fonctions g et h par :

∀a ∈ I,

( g(x) = inf {f n (a), n ∈ N } h(x) = sup {f _n (a), n ∈ N }

et que l'une est semi-continue supérieurement et l'autre inférieurement.

14.

^(Eli14)

La fonction

x 7→ x ^x bxc ^bxc converge-t-elle en +∞ ?

15.

^(Eli15)

Déterminer toutes les fonctions f de R dans R, continue en 0 et 1 et vériant :

∀x ∈ R , f (x ² ) = f (x).

16.

^(Eli16)

Soit f fonction de [0, 1] dans R localement bornée en x pour tous x ∈ [0, 1] . Montrer que f est bornée.

17.

^(Eli17)

On considère (a n ) _n∈

N et (b n ) _n∈

N telles que (a n + b n ) _n∈N → 0, e ^a

ⁿ

+ e ^b

ⁿ

n∈ N → 2.

Que dire de ces deux suites ?

18.

^(Eli18)

Soit f une fonction dénie dans R par :

∀x ∈ R , f (x) =

( x si x ∈ Q x ² si x ∈ R \ Q

Déterminer les éléments de R en lesquels f admet une limite et préciser la limite en ces éléments.

19.

^(Eli19)

Fonctions localement symétriques.

Soit f une fonction dénie dans R. Pour chaque a ∈ R, on dénit une partie A a ⊂ [0, +∞[ par :

∀α > 0, α ∈ A a

⇔ (∀h ∈ R , (|h| ≤ α ⇒ f (a + h) = f (a − h))) . On introduit les dénitions et notations suivantes f est localement symétrique en a ∈ R si et seulement

si A a 6= ∅ . On note f ls en a .

f est localement symétrique dans R si et seulement si,

∀a ∈ R, f est ls en a . On note f ls dans R.

f est uniformément localement symétrique si et seule- ment si

∃α > 0 tq ∀(a, h) ∈ R ² ,

|h| ≤ α ⇒ f (a + h) = f(a − h).

On note f uls.

Montrer les implications suivantes

a. f ls en a et dérivable en a entraine f ⁰ (a) = 0 . b. f uls entraine f constante. On proposera deux dé-

monstrations : une directe en utilisant une subdivi- sion régulière et une autre par contraposition avec une construction dichotomique.

c. On suppose f continue et ls dans R.

i. A _a majoré entraine A _a admet un plus grand élément.

ii. ∀a ∈ R , A _a non majoré.

iii. f constante.

2

(3)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Etude locale des fonctions : corrigés

1.

^(Cli01)

On se ramène au cas l = 0 en considérant f − l . On suppose donc l = 0 .

On forme une inégalité à la Césaro en introduisant un y arbitraire. Pour tout x > y ,

f (x) = (f (x) − f (x − 1)) + (f (x − 1) − f (x − 2)) + · · · + (f (x − (n − 1)) − f (x − n)) + f (x − n) avec

x − n − 1 < y ≤ x − n ⇒ n = bx − yc On en déduit

|f (x)| ≤ n sup

[y,+∞[

|g| + |f (x − n)|

De plus, n ≤ x et

y ≤ x − n < y + 1 ⇒ x − n ∈ [y, y + 1]

⇒ |f (x − n)| ≤ M _y = sup

[y,y+1]

|f |

⇒ 0 ≤ |φ(x)| ≤ sup

[y,+∞[

|g| + M y

x

On peut alors traiter un ε > 0 quelconque exactement comme dans l'exercice sur la convergence de Cesaro en xant d'abord un bon y pour que sup _[y,+∞[ |g| ≤ ^ε ₂ . Considérons la fonction 1 -périodique f dénie par

∀x ∈ [0, 1[, f (x) = 1 1 − x

Comme f est 1 -périodique, g est identiquement nulle donc converge vers 0 en +∞ . Mais en posant

∀n ∈ N ^∗ , x _n = n + 1 − 1 n

on forme une suite qui diverge vers +∞ et telle que

f (x n ) = n ⇒ φ(x n ) = n x n

⇒ (φ(x n )) _n∈N

∗

→ 1

2.

^(Cli02)

La fonction est continue en tous les réels a qui ne sont pas des inverses d'entiers. Si a 6= 0 , la restriction de f à un intervalle assez petit autour de a est ane. La continuité en a = 0 résulte de

1 − x < f (x) ≤ 1

La fonction est discontinue en a = ¹ _p pour p ∈ N ^∗ car

f

1 p

++

−−−→ 1 − 1 p , f

1 p

−

−−→ 1

Le graphe de la fonction est présenté en gure 1.

3. pas de correction pour Eli03.tex 4.

^(Cli04)

a. à compléter b. à compléter

Fig. 1 Exercice 2 : graphe de la fonction

c. En fait u est le point xe de ϕ :

ϕ(u) = u ⇔ au + b = u ⇔ u = b 1 − a Il conduit à une expression commode

∀x ∈ R , ϕ(x) = a(x − u) + u Pour tout n ∈ N et x ∈ R on en déduit

f (x) = f (a ⁿ (x − u) + u) Si |a| < 1 , la suite (a ⁿ (x − u) + u) _n∈

N converge vers u . Par continuité, la limite de cette suite constante est f (x) = f (u) . La fonction f est donc constante.

Si |a| > 1 , on raisonne de même avec ϕ ⁻¹ . En eet, ϕ est bijective avec

∀x ∈ R , ϕ ⁻¹ (x) = 1

a (x − u) + u et f ◦ ϕ ⁻¹ = f avec

_a ¹ < 1 . d. à compléter

5.

^(Cli05)

à rédiger

6.

^(Cli06)

Soit A l'ensembles des réels dans [a, b] en lesquels la fonction f s'annule. Cet ensemble est une partie non vide de R, minorée par a , elle admet donc une borne inférieure c qui vérie a ≤ c car a est un minorant de A . D'autre part, il existe u dans A donc c ≤ u ≤ b . On en déduit que c ∈ [a, b] donc f est continue en c .

D'après un résultat de cours, il existe une suite (a n ) _n∈

d'éléments de A qui converge vers c . N

Par dénition de A , la suite (f (a n )) _n∈

N est constante de valeur nulle. Elle converge donc vers 0 .

Par continuité de f en c , cette suite converge aussi vers f (c) . Par unicité de la limite, on obtient alors f (c) = 0 donc c ∈ A et c = min A .

7.

^(Cli07)

à rédiger 8.

^(Cli08)

à rédiger

9. pas de correction pour Eli09.tex 10. pas de correction pour Eli10.tex 11. pas de correction pour Eli11.tex 12.

(Cli12)

a. Par dénition, g(0) = 0 . Comme g est croissante, elle est à valeurs positives ce qui entraîne que

∀x > 0, f (x) ≥ 0

3

(4)

Lycée Hoche MPSI B Feuille Etude locale des fonctions : corrigés

Comme f est décroissante, on en déduit f (0) ≥ 0 . Comme g est croissante dans [0, α] avec g(0) = g(α) = 0 , elle est identiquement nulle dans cet in- tervalle. Ceci prouve que f (x) = 0 pour x ∈]0, α] . Comme f est décroissante et à valeurs positives, elle est aussi nulle au delà de α .

b. On exploite les monotonies de chaque côté de a > 0 .

x ≤ a

f décroissante g croissante



 

 

⇒ f (a) ≤ f (x) g(x) ≤ g(a) )

⇒ f (a) ≤ f (x) = g(x)

x ≤ g(a) x = a

x f (a) On en conclut par encadrement que f − → ^a f (a) . La continuité de g résulte des opérations usuelles.

13.

^(Cli13)

Comme pour chaque a ∈ I l'ensemble de nombres réels

F _a = {f _n (a), n ∈ N }

est borné, il admet une borne inférieure g(a) et une borne supérieure h(a) .

Montrons que h est semi-continue inférieurement.

Pour tout ε > 0 , le réel h(a) − ^ε ₂ n'est pas un majorant de F a . Il existe donc n ∈ N tel que

h(a) − ε

2 ≤ f n (a)

Comme f n est continue en a , il existe α > 0 tel que

∀x ∈ I, |x − a| ≤ α ⇒ f _n (a) − ε

2 ≤ f _n (a)

⇒ h(a) − ε ≤ f n (a) − ε

2 ≤ f n (a) ≤ h(a) De même que g est semi-continue supérieurement.

14.

^(Cli14)

Notons f la fonction. Elle n'admet pas de limite en +∞ car

f (n) = 1 ⇒ (f (n)) _n∈N → 1

f (n + 1

2 ) = (n + ¹ ₂ ) ⁿ⁺

¹²

n ⁿ = √

n

1 + 1 2n

n+

¹₂

≥ √ n

⇒

f (n + 1 2 )

n∈ N

→ +∞

15.

(Cli15)

à compléter

16. pas de correction pour Eli16.tex

17.

^(Cli17)

Elles convergent vers 0 . En eet, on peut écrire

e ^a

ⁿ

+ e ^b

ⁿ

= 2e

^an+bn²

ch a n − b n

2 La continuité en 1 de la fonction argch et les hypothèses montre alors que a n − b n converge vers 0 et on conclut par opérations à partir des décompositions

a _n = 1

2 (a _n + b _n ) + 1

2 (a _n − b _n ) b _n = 1

2 (a _n + b _n ) − 1

2 (a _n − b _n )

18. pas de correction pour Eli18.tex 19.

^(Cli19)

a. On prend la valeur en 0 de la dérivée de h 7→ f (a + h) = f (a − h).

On en déduit f ⁰ (a) = −f ⁰ (a) ⇒ f ⁰ (a) = 0 . b. Démonstration directe.

Soit a < b quelconques. On découpe [a, b] en 2n segments de même longueur ^b−a _2n .

x 0 = a < x 1 < x 2 < · · · < x _2n−1 < x 2n = b.

On choisit n assez grand pour que ^b−a _2n soit stricte- ment plus petit que le α de la dénition de f uls.

Par symétrie locale par rapport à x 1 , x 3 , ... :

f (a) = f (x 0 ) = f (x 2 )

= · · · = f (x _2n−2 ) = f (x _2n ) = f (b).

Démonstration par contraposition et dichotomie.

Soit a < b avec f (a) 6= f (b) .

Construisons par dichotomie des suites (a n ) n∈ N et (b n ) n∈ N telles que f (a n ) 6= f (b n ) pour tous les s . On pose a 0 = a et b 0 = b de sorte que f(a 0 ) 6=

f (b ₀ ) .

Pour un n ∈ N tel que f (a _n ) 6= f (b _n ) , considérons le milieu ^a

ⁿ

^+b ₂

ⁿ

. Son image par f ne peut être égale à la fois à f (a _n ) et f (b _n ) car f (a _n ) 6= f (b _n ) . Alors

a _n + b _n

2 6= f (a n ) ⇒







a n+1 = a n

b n+1 = a n + b n

2 a n + b n

2 6= f (b n ) ⇒







a n+1 = a _n + b _n 2 b _n+1 = b _n

Par construction b _n − a _n = ^b−a ₂

_n

. Comme f (a _n ) 6=

f (b _n ) les α > 0 de la locale symétrie au milieu

a

_n

+b

_n

2 doivent être strictement plus petit que la moitié de la longueur c'est à dire ₂ ^b−a

n+1

. Pour n'im- porte quel α > 0 , il existe donc des réels x pour lesquels la fonction n'est pas symétrique par rap- port à x dans [a − α, a + α] . La fonction n'est pas uls.

c. i. à compléter

ii. Supposons A a majoré et notons β = sup A a . La fonction est alors loc. sym. en b = a + β et en b ⁰ = a − β . Il existe γ > 0 assez petit pour que

[b ⁰ − γ, b ⁰ + γ] domaine de symétrie en b ⁰ [b − γ, b + γ] domaine de symétrie en b iii.

4

∀x ≥ 0, g(x) = f (x + 1) − f (x); ∀x > 0, φ(x) = f (x) x

Lycée Hoche MPSI B Feuille Etude locale des fonctions

1.

Soit f dénie sur [0, +∞[ et bornée sur tout inter- valle de longueur 1, soit g et φ dénis par

∀x ≥ 0, g(x) = f (x + 1) − f (x); ∀x > 0, φ(x) = f (x) x

On suppose g −−→ +∞ l ∈ R, montrer que φ −−→ +∞ l . Donner un exemple de fonction montrant que l'hypo- thèse bornée sur les intervalles de longueur 1 est indispensable.

2.

Soit f dénie dans [0, +∞[ par

f (x) =







1 si x = 0 b 1

x cx si x 6= 0

Étudier la continuité de f aux points qui ne sont ni 0 ni des 1 p pour p ∈ N ∗ . Étudier la continuité aux points 1 p pour p ∈ N ∗ . Tracer le graphe de f . Étudier la continuité de f en 0 .

3.

Étudier la continuité en tout point des applications suivantes :

f (x) =

cos x si x ∈ Q sin x si x ∈ R − Q g(x) =

1

q si x = p q 0 si x ∈ R − Q

Pour l'application g , les entiers p et q sont premiers entre eux.

4.

On cherche à déterminer les fonctions f de R dans R qui s'expriment avec f ◦ ϕ pour diverses fonctions ϕ et diverses hypothèses sur f .

a. f continue en 0, ϕ(x) = 3x et f = f ◦ ϕ . b. f continue en 1, ϕ(x) = x 2 et f = −f ◦ ϕ .

c. Pour a et b réels ( |a| 6= 1 ), f continue en u = 1−a b , ϕ(x) = ax + b et f = f ◦ ϕ .

d. f continue en 0 et 1 , ϕ(x) = x 2 et f = f ◦ ϕ . 5.

Discuter suivant les réels a et b des limites stric-

tement à droite et à gauche de 0 des fonctions de x suivantes :

x → x a b b

x c, x → b x b x

a c

6.

Soit f une fonction continue sur un segment [a, b]

qui s'annule au moins une fois. Montrer que l'ensemble des points où elle s'annule admet un plus petit élément.

7.

Soit f une fonction dénie dans ]x 0 − α, x 0 + α[ à valeurs réelles et continue en x 0 . Montrer que la fonction

h → f (x 0 + h) − f (x 0 − h)

admet une limite nie (à préciser) en 0 . Que dire de la réciproque ?

8.

Montrer qu'une fonction périodique qui admet en +∞ une limite nie est constante.

Montrer qu'il n'existe pas de fonction périodique qui di- verge vers +∞ en +∞ .

Donner un exemple de fonction périodique non bornée.

9.

Soit f une fonction monotone dénie dans un seg- ment [a, b] .

a. On considère une famille nie quelconque : a < x 1 < x 2 < · · · < x n < b

Établir l'inégalité

n

X

k=1

|f d (x k ) − f g (x k )| ≤ |f (b) − f (a)|

b. Pour tout n ∈ N ∗ , on note

D n =

x ∈]a, b[ tel que |f d (x) − f g (x)| > 1 n

Montrer que D n est ni.

c. Montrer que l'ensemble des points de discontinuité de f est ni ou en bijection avec N.

10.

Étudier la convergence en 0 des fonctions sui- vantes :

xb 1

x c √

xb 1 x c

b 1 x c + x b 1

x c − x où bxc désigne la partie entière de x .

11.

On dénit une fonction f de [0, 1] dans [0, 1] en posant :

∀x ∈ [0, 1] : f (x) =

( x si x ∈ Q 1 − x si x 6∈ Q

Étudier la continuité de f en un a ∈ [0, 1] . Montrer que f est bijective. Donner un exemple d'application bijective de [0, 1] dans [0, 1] et partout discontinue.

12.

Soit f et g dénies dans un intervalle I , à valeurs réelles et telles que :

f décroissante , ∀x ∈ I, g(x) = xf(x), g croissante.

a. On suppose I = [0, +∞[ et qu'il existe α > 0 tel que f (α) = 0 . Montrer que f est la fonction nulle.

b. On suppose I =]0, +∞[ . Montrer que f et g sont continues en a > 0 .

13.

Fonctions semi-continues.

Soit I un intervalle de R et a ∈ I . Une fonction f dénie dans I est dite semi-continue supérieurement en a si et seulement si :

∀ε > 0, ∃α > 0 tq :

∀x ∈ I, |x − a| ≤ α ⇒ f(x) − f (a) ≤ ε De même, une fonction f dénie dans I est dite semi- continue inférieurement en a si et seulement si :

∀ε > 0, ∃α > 0 tq :

∀x ∈ I, |x − a| ≤ α ⇒ ε ≤ f (x) − f (a)

On suppose g −−→ ^+∞ l ∈ R, montrer que φ −−→ ^+∞ l . Donner un exemple de fonction montrant que l'hypo- thèse bornée sur les intervalles de longueur 1 est indispensable.

Étudier la continuité de f aux points qui ne sont ni 0 ni des ¹ _p pour p ∈ N ^∗ . Étudier la continuité aux points ¹ _p pour p ∈ N ^∗ . Tracer le graphe de f . Étudier la continuité de f en 0 .

q si x = ^p _q 0 si x ∈ R − Q

a. f continue en 0, ϕ(x) = 3x et f = f ◦ ϕ . b. f continue en 1, ϕ(x) = x ² et f = −f ◦ ϕ .

c. Pour a et b réels ( |a| 6= 1 ), f continue en u = _1−a ^b , ϕ(x) = ax + b et f = f ◦ ϕ .

d. f continue en 0 et 1 , ϕ(x) = x ² et f = f ◦ ϕ . 5.

b. Pour tout n ∈ N ^∗ , on note

D _n =

x ∈]a, b[ tel que |f _d (x) − f _g (x)| > 1 n

Pour tout n ∈ N, f n est une fonction continue dans I . On suppose que de plus que pour tout a ∈ I , la suite de nombre réels (f n (a)) _n∈

( g(x) = inf {f n (a), n ∈ N } h(x) = sup {f _n (a), n ∈ N }

x 7→ x ^x bxc ^bxc converge-t-elle en +∞ ?

∀x ∈ R , f (x ² ) = f (x).

On considère (a n ) _n∈

N et (b n ) _n∈

N telles que (a n + b n ) _n∈N → 0, e ^a

+ e ^b

( x si x ∈ Q x ² si x ∈ R \ Q

∃α > 0 tq ∀(a, h) ∈ R ² ,

a. f ls en a et dérivable en a entraine f ⁰ (a) = 0 . b. f uls entraine f constante. On proposera deux dé-

i. A _a majoré entraine A _a admet un plus grand élément.

ii. ∀a ∈ R , A _a non majoré.

⇒ |f (x − n)| ≤ M _y = sup

On peut alors traiter un ε > 0 quelconque exactement comme dans l'exercice sur la convergence de Cesaro en xant d'abord un bon y pour que sup _[y,+∞[ |g| ≤ ^ε ₂ . Considérons la fonction 1 -périodique f dénie par