...............................................................................................................................................................................................................................................................

(1)

Chapitre n°5 : Fonction exponentielle Objectifs :

Niveau a eca n

C5.a ¹ R.O.C:unicité de la fonction exponentielle.

C5.b 1 Connaître et utiliser les variations de la fonction

exponentielle.

C5.c ¹ Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

C5.d ² Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

C5.e ¹ Maîtrise des propriétés avec la notation e^x.

C5.f ¹ R.O.C:limites de la fonction exponentielle en -∞ et +∞

C5.g ¹ Limites avec la fonction exponentielle.

C5.h ² Limites avec la fonction exponentielle.

C5.i ¹ Équations et inéquations comportant des exponentielles.

C5.j ¹ Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle.

Activité d'approche n°1 : Approche de la fonction exponentielle

Léonhard EULER (1707-1783) est un mathématicien suisse à qui nous devons beaucoup de notations mathématiques utilisées de nos jours :

- il fut le premier à écrire f(x) pour désigner l’image de x par la fonction f ;

- il nota i le nombre imaginaire utilisé dans le chapitre des nombres imaginaires - il introduisit la lettre e pour la base de la fonction exponentielle ;

- il utilisa la lettre  pour désigner une somme.

- …

Il est l’un des plus grands et des plus complets mathématiciens du XVIII^e siècle. Il fit de nombreuses découvertes en analyse, en calcul infinitésimale, en théorie des graphes, en mécanique, en dynamique des fluides, en optique, en astronomie …

Soit f une fonction dérivable sur IR vérifiant : (1) f(0) = 1 et,

(2) pour tout réel x, f '(x)=f(x).

Le but de cette activité est de représenter une fonction f qui satisfasse à ces deux conditions, en utilisant une suite.

Soit h un nombre réel très petit. On pose :

x0=0 et, pour tout n entier naturel, xn+1=xn+h.

y0=f (0) et, pour tout n entier naturel, yn=f (xn).

1. Calculer y1 en fonction de f(h).

...

2. Démontrer que lim

h→0

y_n+1−y_n h =y_n.

...

1/20

(2)

...

3. On interprète la relation précédente de la façon suivante : pour h suffisamment petit, y_n+1−y_n

h ≈y_n. En déduire une relation qui permette de calculer une valeur approchée de yn+1 en fonction de yn et de h, puis une relation entre f(xn), f(xn+1), et h. Rappeler aussi la relation entre xn, xn+1, et h.

...

4. Reproduire la page de tableur ci-contre (sur tablette, téléphone, ou PC).

5. Quelle formule faut-il écrire en B3 pour obtenir x1 ? …...

Recopier cette formule jusqu'en B21.

6. Entrer la valeur de y0 en C2. Quelle formule faut-il écrire en C3 pour obtenir une approximation de y1 ?

…...…

...………...

Recopier cette formule jusqu'en C21.

7. Modifier la valeur de h en D4 et vérifier que cela modifie les valeurs des

approximations de yn.

8. En prenant h=0,001, calculer une approximation de f (1) :

…...

(3)

Cours n°1 :Définition de la fonction exponentielle et propriétés I) Définition de la fonction exponentielle

Propriété n°1 (Unicité et existence de la fonction exponentielle) Il existe une unique fonction f, définie et dérivable sur R , telle que …….=…... et

f(0)=…..

Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et est notée exp. On a donc : pour tout réel x, exp'(x)=………… et exp'(0)=…

Démonstration (R.O.C.) :

● L'existence est admise.

● Démonstration de l'unicité :

=> On montre d'abord que f ne s'annule pas sur IR : ASTUCE : On définit : (x)=f(x)×f(–x).

Alors ' (x) = …...

Donc ' (x) = ….

Donc (x) est constante.

Or (0) =…...=...car f(0)=....

Donc (x) = …... (1)

Supposons qu'il existe a tel que f(a)=0 (2).

Alors (a) = …... = …... ce qui est en contradiction avec (1) .

Donc (2) est impossible. Donc f ne ………

=> On démontre l’Unicité :

ASTUCE : Soit g une autre fonction telle que g '=g et g(0)=1. Calculons

(

^g^f

)

^'^(on

peut définir une telle fonction car f ………..)

...

Donc

(

^g^f

)

⁽^x⁾⁼...

Or

(

^g^f

)

⁽⁰⁾=...

Donc : …...………..

...

Propriété n°2

3/20

(4)

Démonstration :

D'après la démonstration précédente, f ne s'a... . De plus, f (0) = …... Donc f est …... sur IR .

De plus, comme f '= f , f ' est aussi …... sur IR . Donc f est …... sur IR.

II) Propriétés de la fonction exponentielle Propriété n°3

Pour tout réel x, exp(−x)= ...

...

Démonstration : On définit : (x)=exp(x)×exp(–x).

D'après la démonstration de la propriété n°1, (x) est constante et vaut 1. D'où la propriété.

Pour tous réels a et b, exp(a + b)=...

Démonstration : On définit : g(x)=exp(x+b)

exp(x) On calcule la dérivée de g :

...

g'(x)=... et g(0)=...………. donc g est ...………… et vaut ... , quelque soit x.

D'où :...

...

Exemple n°1 : Simplifier exp(x+2)

expx :

...

(5)

...

Exemple n°2 :

Étudier les variations de f (x)=exp(x)+2x:

...

...

...

......

......

...

...

5/20

(6)

Objectifs

C5.a_Niv1 :R.O.C:unicité de la fonction exponentielle.

C5.b_Niv1 :Connaître et utiliser les variations de la fonction exponentielle.

C5.c_Niv1 :Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

Exercice n°1 Ex.1 p.114

Cours n°2 : Exponentielle (propriétés) Propriété n°5

Pour tous réels a et b, exp(a – b)= ...

...

Démonstration

Conséquence des propriétés n°3 et 4

...

exp(na)=...

Démonstration :

...

...………..

...

...………..

...

(7)

...

...………..

...

Exemple n°3 Exprimer exp(3x−2)

exp(2x) en fonction de exp(x) :

...

......

......

...

......

...

...

7/20

(8)

Objectifs

C5.d_Niv2 :Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

Exercice n°2 Ex.21 p.114 Exercice n°3*

Ex.63 p.115

Cours n°3 : notation e^x III) Notation e ^x

Définition n°1

L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e, c'est à dire exp(1)=e

Pour tout nombre entier n, on a exp(n) = exp(n×1) = [exp(1)]ⁿ = eⁿ

On étend cette définition aux nombres réels : Définition n°2

Pour tout nombre réel x, l'image de x par la fonction exponentielle se note e^x

Les propriétés, déjà démontrées, s'écrivent avec cette notation : Propriété n°7

Soient x, a et b trois nombres réels et n un entier relatif.

1.

(

e^x

)

^'=.... 2. e⁰=.... 3. e^a+b=.... 4. e^−a=...

... ^ete^a−b=...

...

5. e^na=...

Exemple n°4 :

Simplifier les expressions suivantes : a. e^x×e^-x

...

b.

(

e²^x

)

²^×

(

e^−x

)

³

…...

c. e³^x×e⁴^x e²^x−1

…...

Exemple n°5 :

Démontrer, pour tout nombre réel x, que e^x

1+e^x= 1 1+e^−x

...

(9)

...

9/20

(10)

Objectifs

C5.e_Niv1 :Maîtrise des propriétés avec la notation e^x. Exercice n°4

Ex.67 p.116 Exercice n°5

Ex.70 p.116

Cours n°4 : Limites de la fonction exponentielle IV) Limites de la fonction exponentielle

Propriété n°8 1. lim

x→ +∞ e^x=..... et 2. lim

x→−∞e^x=...

Démonstration (R.O.C) : 1. Démonstration de lim

x→+∞e^x=... :

ASTUCE : Soit f(x) = e^x –x . f est définie, continue, et dérivable sur IR . Montrer que f est croissante sur [0;+ ∞[ :

...

En déduire que, pour x

∈

[0;+ ∞[ , e^x>x :

...

Conclure :

…...

...

2. Démonstration de lim

x→−∞e^x=... lim

x→−∞e^x= lim

x→−∞

1

e⁻^x= lim

x→+∞

1

e^x=.....

Propriété n°9 1. lim

x→+∞

e^x

x =.... , 2. lim

x→−∞ xe^x=... 3. lim

x→0

e^x−1

x =...4. lim

x→+∞

x

e^x=....

(11)

x→+∞

e^x

x =.... : Soit f(x) = e^x – ^x²

2 ^.

Montrer que f est croissante sur [0;+ ∞[ :

...

En déduire que, pour x

∈

^{[0;+ ∞[}^,^e^x^> ^x₂²

...

Conclure :

…...

...

…...

...

…...

...

x→−∞ xe^x=... xe^x = ^x

e^−x = – ^...

...

x→0

e^x−1 x =...

Le nombre dérivé en 0 de la fonction x → e^xvaut …... et

...

Propriété n°10 (tableau de variation et représentation graphique)

x – ∞ + ∞

f '(x) ...

f(x)

…..

11/20

(12)

Exemple n°6

Calculer les limites en –∞et en +∞ de la fonction f définie sur IR par

f (x)=e^x–x + 1.

...

Exemple n°7 Calculer lim

x→+∞

e^x x−1=...

...

x→+∞

e^x−1 e^x+1=...

...

x→0⁺

e^x−1 x² =...

...

(13)

...

13/20

(14)

Objectifs

C5.f_Niv1 :R.O.C:limites de la fonction exponentielle en -∞ et +∞

C5.g_Niv1 :Limites avec la fonction exponentielle.

C5.h_Niv2 :Limites avec la fonction exponentielle.

Exercice n°6 Ex.19 p.114 Exercice n°7*

Ex.96 p.117

Cours n°5 : Équations et inéquations comportant la fonction exponentielle.

V) Équations et inéquations comportant la fonction exponentielle.

1. Soient a et b deux expressions. Alors l'équation e^a= e^best équivalente à l'équation

…....

2.Soient a et b deux expressions. Alors l'inéquation e^a<e^best équivalente à l'inéquation …....

La fonction exponentielle est …...

Exemple n°9 Résoudre e^–x+7=e^x+3:

...

Exemple n°10 Résoudre e^2–x=1:

...

Exemple n°11 Résoudre e^2x+2e^x –3= 0. ^:

...

Exemple n°12 Résoudre e^2x 1

(15)

...

15/20

(16)

Objectifs

C5.i_Niv1 :Équations et inéquations comportant des exponentielles.

Exercice n°8 Ex.23 p.114 Exercice n°9

Ex.80 p.116

Cours n°6 : Exponentielle de fonctions VI) Exponentielle de fonctions

Propriété n°12 (admise)

Soit u une fonction définie, continue et dérivable sur I.

La fonction e^u(x) est dérivable sur I et sa dérivée est …...

Exemple n°13

Calculer la dérivée de f(x) = e^-x.

...

Exemple n°14

Calculer la dérivée de f(x) = e^x²+x.

...

Exemple n°15

Calculer la dérivée de f(t) = (3 – t)e^t².

...

(17)

/i{E:\Docus\newdocs\TS\TS_2017_CHAP5_Setester_6_NG.odt}

Interrogation n°6 Objectifs

C5.j_Niv1 :Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle.

Exercice n°10 Ex.47 p.115 Exercice n°11**

Ex.130 p.119 Exercice n°12***

Sujet B p.127 Exercice n°13***

Sujet C p.127

17/20

(18)

Ex.2 (21 p.114) : 1. 0 2. 0

Ex.3 (63 p.115) : 1. croissante sur ]1 -

√

²^;^{1 +}

√

² ^[ décroissante ailleurs. 2.

décroissante sur ]1 -

√

³^;^{1 +}

√

³ ^[, croissante ailleurs.

Ex.4 (67 p.116) : 1. e⁷ 2. e^2x 3. e^x.

Ex.5 (70 p.116) : multiplier numérateur et dénominateur par e^-x...

Ex.6 (19 p.114) : 1. e² 2. e⁴ 3. e^4x 4. e².

Ex.7 (96 p.117) : 1. –∞ et +∞ 2. –2 et 1. 3. –∞ et 0. 4. –∞ et +∞

Ex.8 (23 p.114) : 1.1 3 ^{2. -}

1 4

Ex.9 (80 p.116) : 1. 1 et 4 2. 0 3. pas de solution. 4. -1 Ex.10 (47 p.115) : 1. +∞ et 0 2. 0 et +∞

Ex.11 (130 p.119) : 1. croissante sur R. 2.a. par recurrence. 2.b. par recurrence 2.c. croissante et majorée par 3 , donc elle converge.

Ex.12 (B p.127) : P.A.1. décroissante sur ]–∞;-2] et croissante sur ]-2 ;+∞[.

lim

x→+∞

f (x)=0et lim

x→+∞

f (x)=+∞2.

P.B.1.a. affine. b. (-1;0) et (0;1).

ils appartiennent à ck.

2. ck+1 est au dessus de ck sur ]–∞;-1] et sur ]0 ;+∞]. ck+1 est en dessous de ck sur

[-1;0] 3.a. f'k(x) est du signe de kx + k+1.

3.b. Si k>0,fk est décroissante sur

] – ∞ ; ^−k⁻¹

k ] et fk est croissante sur

]^−k⁻¹

k ; +∞[. Si k<0,fk est croissante sur ] – ∞ ; ^−k−1

k ] et fk est décroissante sur ]^−k−1

k ; +∞[.

Ex.13 (C p.127) : P.A.1. e^x= ¹

x . 2.a. strictement croissante sur R. 2.b.

lim

x→−∞

f (x)=−∞et lim

x→+∞

f (x)=+∞… 2.c. α ∈ [ ¹

2 ;1] 2.d. f(x)<0 sur [0 ;α]. P.B.1. f(x)=0. 2. g(α)=α. 3. g est croissante sur [0 ;α]. P.C.1. récurrence. 2. la suite est croissante et majorée par α, doncconvergente. 3. Correctif : il faut calculer u4 à 10^–6 près à la question b., pas à la question a. b. u4 ≈0,567143.

(19)

19/20

(20)

Date d’aujourd’hui : ...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser les interrogations : C__.__ ;C__.__ ;C__.__ ;C__.__

* Je prévois le travail personnel (4 travaux min., sf exception ou mot daté et signé) pour la prochaine fois : Exercices n° : … / … / … / … / … / … /…

Question n° : … / … / … / … / … de l’Activité n° … Exemples n° : … / … / … / … / … du Cours n° : ...