On considère la fonction f définie, pour tout x ∈ [0, +∞ [, par f (x) = x 1 + x . 1. Montrer que f est croissante sur [0, +∞ [.

Devoir Non Surveillé 1 – Mathématiques

Exercice 1

On considère la fonction f définie, pour tout x ∈ [0, +∞ [, par f (x) = x 1 + x . 1. Montrer que f est croissante sur [0, +∞ [.

2. En déduire que, pour tout (x, y) ∈ R

^,

| x + y |

1 + | x + y | É | x |

1 + | x | + | y | + | y | 1 + | x | + | y | . 3. Montrer que, pour tout (x, y) ∈ R

^,

| x + y |

1 + | x + y | É | x |

1 + | x | + | y | 1 + | y | .

1. Pour toutx∈[0,+∞[,x+1>0 donc, la fonction rationnelle f est bien définie et dérivable sur [0,+∞[. De plus, pour toutx∈[0,+∞[,

f⁰(x)=1+x−x (1+x)² = 1

(1+x)²Ê0.

Donc,

La fonction f est croissante sur [0,+∞[.

2. Soit (x,y)∈R². D’après l’inégalité triangulaire, on a :

|x+y| É |x| + |y|. On déduit de la croissance def que : f(|x+y|)Éf(|x| + |y|), c’est-à-dire,

|x+y|

1+ |x+y|É |x| + |y| 1+ |x| + |y| Donc,

|x+y|

1+ |x+y|É |x|

1+ |x| + |y|+ |y| 1+ |x| + |y|.

3. Soit (x,y)∈R². Comme la valeur absolue d’un réel est positive, on a : 1+|x|+|y| Ê1+|x| >0 et 1+|x|+|y| Ê1+|y| >0.

D’où,

1

1+ |x| + |y|É 1

1+ |x| et 1

1+ |x| + |y|É 1 1+ |y|. Comme|x| Ê0 et|y| Ê0, il vient :

|x|

1+ |x| + |y|É |x|

1+ |x| et |y|

1+ |x| + |y|É |y| 1+ |y|. Donc, en sommant les inégalités,

|x|

1+ |x| + |y|+ |y|

1+ |x| + |y|É |x|

1+ |x|+ |y| 1+ |y|. Ainsi, en utilisant l’inégalité de la question 2,

|x+y|

1+ |x+y|É |x|

1+ |x|+ |y| 1+ |y|.

Exercice 2

On considère la fonction f définie par :

f : R

→ R

x 7→ e

+ ln(x) − 1

1. Montrer que f réalise une bijection de R

sur un intervalle J à déterminer.

2. Déterminer la valeur de f

(0).

3. Étudier la dérivabilité de f

sur J . 4. Calculer

f

(0).

Réponse

1. La fonction f est dérivable, donc continue, surR^?+comme somme de fonctions dérivables et, pour toutx∈R^?+, f⁰(x)=e^x−1+1

x>0.

Donc, f est strictement croissante sur l’intervalleR^?₊^. Par le théorème de la bijection,

f réalise une bijection deR^?₊^surJ=f(R^?₊^).

Or, par opération sur les limites, lim

x→0f(x)= −∞et lim

x→+∞f(x)= +∞. Donc, x

f⁰(x)

f

0 +∞

+

−∞

−∞

−∞

−∞

On en déduit que

J=R^. 2. On af(1)=0. Donc, par définition de bijection réciproque,

f⁻¹(0)=1.

3. La fonction f est dérivable surR^?₊et sa dérivée ne s’annule pas.

Par le théorème de dérivation d’une bijection réciproque,

f⁻¹est dérivable surR^. 4. On sait que :

¡f⁻¹¢₀

(0)= 1

f⁰¡

f⁻¹(0)¢= 1 f⁰(1)=1

2. Donc,

¡f⁻¹¢₀ (0)=1

2.

Exercice 3

Montrer que, pour tout x ∈ R

,

cos(x) Ê 1 − x

2 .

On pose f:x7→cos(x)− µ

1−x² 2

¶ .

La fonction f est dérivable surR+comme somme de fonctions dérivables et, pour toutxÊ0, f⁰(x)= −sin(x)+x.

La fonction f⁰est dérivable surR+et, pour toutx∈R+,

f⁰⁰(x)= −cos(x)+1Ê0.

On en déduit le tableau de variations def⁰, puis def : x

f⁰⁰(x) f⁰

f⁰(x) f

0 +∞

+ f⁰(0)=0 f⁰(0)=0

+ f(0)=0 f(0)=0 Donc, pour toutx∈R+,f(x)Êf(0).

Ainsi,

pour toutx∈R+, cos(x)Ê1−x² 2.

Remarque, comme les fonctionscosetx7→x²sont paires, la relation précédente est encore vraie pourxÉ0.

Problème

Dans ce problème, on s’intéresse à la fonction :

f : R

→ R x 7→ p

x × e

.

Partie 1 : Préliminaire

1. Résoudre l’inéquation d’inconnue x > 0 : 1 p x − p

x > 0.

Partie 2 : Étude générale de f

2. Calculer lim

x→0⁺

f (x) − f (0)

x − 0 . Que peut-on en déduire sur f et sur son graphe ?

3. Après avoir justifié brièvement que f est dérivable sur R

, calculer, pour tout x > 0, f

(x).

4. Déterminer la limite de f en +∞ .

On rappelle la croissance comparée : lim

t→+∞

p t × e

= 0.

5. En déduire le tableau de variations de f . 6. Tracer le graphe de f .

Partie 3 : Étude de f sur [0, 1]

7. Montrer que f réalise une bijection de [0, 1] sur un intervalle I à préciser.

Dans la suite, on note g la bijection réciproque correspondante.

8. Quel est l’ensemble de définition de g ? Dresser le tableau de variations de g.

9. Sur le graphique de la question 6, ajouter le graphe de la fonction g.

10. Justifier que la fonction g est dérivable sur

¸

0, 1

p e

·

et montrer que, pour tout x ∈

¸

0, 1

p e

·

, g

(x) = 2 x ×

1 g(x)

− 1

.

Partie 4 : Étude de f sur [1, +∞ [

11. Montrer que f réalise une bijection de [1, +∞ [ sur un intervalle J à préciser.

Dans la suite, on note h la bijection réciproque correspondante.

12. Quel est l’ensemble de définition de h ? Dresser le tableau de variation de h.

13. Sur le graphique de la question 6, ajouter le graphe de la fonction h.

Partie 5 : Étude d’une nouvelle fonction

On considère la fonction

= g ◦ h

. On note

l’ensemble de définition de

. 14. Déterminer le tableau de variations de la fonction

.

15. Soit x ∈

.

Réponse

Partie 1 : Préliminaire

1. Soitx>0. On a 1 px−p

x=1−x px . Or, p

x>0, donc l’inéquation est équivalente à 1−x>0.

C’est-à-dire,x<1.

L’ensemble des solutions estS=]0, 1[.

Partie 2 : Étude générale de f

2. Soitx>0.

On a f(x)−f(0) x−0 =

px×e^−x2 x =e^−x2

px. Or, lim

x→0⁺e^−2x=e⁰=1>0 et lim

x→0⁺

px=0⁺. Par opérations sur les limites,

xlim→0⁺

f(x)−f(0)

x−0 = +∞. La fonctionf n’est pas dérivable en 0 et le graphe de f possède une tangente verticale en 0.

3. La fonction p

·est dérivable surR^?+. Donc,

f est dérivable surR^?₊comme produit de fonctions dérivables.

Soitx>0, on a

f⁰(x)= µ 1

2p x−

px 2

¶

×e^−x2. Donc,

pour toutx>0,f⁰(x)=1 2×

µ 1 px−p

x

¶

×e^−2x.

4. Soitx>0, on a f(x)=p 2×

rx 2×e^−x2. Or, par croissance comparée, lim

t→+∞

pt×e^−t=0.

D’où (en posantt=x 2),

x→+∞lim f(x)=0.

5. Des questions 1 et 3, il vient : x

f⁰(x)

f

0 1 +∞

+ 0 −

0

p1 e p1

e

0 0

6.

sqrt(x)*%e-(x/2)

x 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 2 4 6 8 10

Partie 3 : Étude de f sur ]0, 1]

7. La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ]0, 1] et est continue sur ]0, 1].

De plus,

x

f

0 1

0

p1 e p1

e

Par le théorème de la bijection,

f réalise une bijection de ]0, 1] surf(]0, 1])=

¸ 0, 1

pe

¸ .

Dans la suite, on notegla bijection réciproque correspondante.

8. Par définition de bijection, l’ensemble de définition de gest

¸ 0, 1

pe

¸ . Par le théorème de la bijection, la fonctiongest strictement croissante sur

¸ 0, 1

pe

¸ . 9.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.5

0.0 0.5 1.0

1.5 f

g

10. Soitx∈

¸ 0, 1

pe

· .

La fonction f est dérivable sur ]0, 1]. Donc, par le théorème de la bijection, gest dérivable enxsi, et seulement si f⁰(g(x)),^0.

Or, f⁰ne s’annule qu’en 1. Donc,gest dérivable enxsi, et seulement si,g(x),1. Ce qui est équivalent àx,^f(1).

Or, f(1)= 1

pe. Donc,

gest dérivable sur

¸ 0, 1

pe

·

Soitx∈

¸ 0, 1

pe

·

. On sait que

g⁰(x)= 1 f⁰(g(x)) Or,

f⁰(g(x))=

à 1

2p g(x)−

pg(x) 2

!

×e^−g(x)2 =1 2×

µ 1 g(x)−1

¶

×p

g(x)×e^−g(x)2

Or, par définition de bijection : p

g(x)×e^−g(x)2 =f(g(x))=x.

Donc,

g⁰(x)= 2 x×

³ 1 g(x)−1´.

Partie 4 : Étude de f sur [1, +∞ [

11. La fonctionf est strictement décroissante et continue sur l’intervalle [1,+∞[, donc, par le théorème de la bijection,f réalise une bijection de [1,+∞[ surJ=f([1,+∞[). De plus,

x

f

1 +∞

p1 e p1

e

0 0 Ainsi,

f réalise une bijection de [1,+∞[ sur

¸ 0, 1

pe

¸ .

Dans la suite, on notehla bijection réciproque correspondante.

12. Par définition de bijection, l’ensemble de définition dehest

¸ 0, 1

pe

¸

; et, par le théorème de la bijection, la fonctionh est strictement décroissante sur

¸ 0, 1

pe

¸ . 13.

0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

3.0 f

g h

Python

1 import matplotlib.pyplot as plt

2 from math import *

3

4 f=lambda x:sqrt(x)*exp(-x/2)

5

6 a1,b1,N=0,1,10**5

7 X1=[a1+k*(b1-a1)/N for k in range(N+1)]

8 Y1=[f(x) for x in X1]

9

10 a2,b2,N=1,3,10**5

11 X2=[a2+k*(b2-a2)/N for k in range(N+1)]

12 Y2=[f(x) for x in X2]

13

14 plt.plot(X1+X2,Y1+Y2,color="black",label="f")

15 plt.plot(Y1,X1,color="blue",linestyle="dotted",label="g")

16 plt.plot(Y2,X2,color="green",linestyle="dashed",label="h")

17 plt.legend()

18 plt.axis("equal")

19 plt.show()

Partie 5 : Étude d’une nouvelle fonction

On considère la fonctionϕ=g◦h⁻¹. On noteDϕl’ensemble de définition deϕ. 14. ÏCommençons par déterminerDϕ.

La fonction gest définie sur

¸ 0, 1

pe

¸ . On sait quehréalise une bijection de

¸ 0, 1

pe

¸

sur [1,+∞[.

Donc, pour toutx∈[1,+∞[,h⁻¹(x)∈

¸ 0, 1

pe

¸ et

¸ 0, 1

pe

¸

est l’ensemble de définition deg.

D’où,

Dϕ=[1,+∞[.

ÏLa fonction gest strictement croissante sur

¸ 0, 1

pe

¸ . On sait quehréalise une bijection strictement décroissante de

¸ 0, 1

pe

¸

sur [1,+∞[.

Donc,h⁻¹réalise une bijection strictement décroissante de [1,+∞[ sur

¸ 0, 1

pe

¸ . Par composition, on en déduit que

ϕest strictement décroissante.

15. Soitx∈Dϕ.

(a) On commence au point (x, 0) sur l’axe des abscisses.

(b) On place le point (x,f(x)). Son ordonnée est f(x)=h⁻¹(x) (f ethson bijection réciproque l’une de l’autre sur [1,+∞[.

(c) La droite d’équationy=h⁻¹(x) intersecte le graphe defen un point d’abscissea<1 (voir le tableau de variations def).

(d) aest l’unique antécédent deh⁻¹(y) par f sur [0, 1]. Donca=g(h⁻¹(y))=ϕ(x).