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Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) = 1 − e

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Academic year: 2022

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Devoir n˚7

I) 8 points

Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) = 1 − e

−x

x + e

−x

. On pose, pour tout n entier naturel, v

n

=

Z

n+1

n

f (x) dx. On admettra que f est crois- sante jusqu’à l’abscisse α ≈ 1, 15 puis décroissante, avec une limite 0 en +∞.

1. a) Démontrer, sans calculer v

n

, que pour tout n > 2, f (n + 1) 6 v

n

6 f (n).

b) En déduire le sens de variation de (v

n

) pour n > 2.

2. a) Déterminer une primitive de f sur [0; +∞[.

b) Soit s

n

= v

0

+ v

1

+ v

2

+ · · · + v

n

. Déterminer la formule exacte de s

n

II) 5 points

Soit f et g définies sur ] − ∞; 3[ par f (x) = 3

3 − x et g(x) = x + 1.

On vérifiera que f (x) − g(x) = x

2

− 2x 3 − x .

On a représenté les courbes de f et g sur la figure (mais on démontrera par le calcul ce dont on aura besoin dans l’exercice).

Calculer, en justifiant, l’aire de la région grisée (région entre les deux courbes).

III) 3 points

Soit f (x) = (x

2

− x + 1)e

2x

.

Démontrer qu’il existe une primitive de f de la forme F (x) = (ax

2

+ bx + c)e

2x

et déterminer a, b et c.

IV) 4 points

On rappelle que sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a).

On pose I = Z

π/2

0

sin(x)

1 + 2 cos(x) dx et J = Z

π/2

0

sin(2x) 1 + 2 cos(x) dx 1. Calculer I + J

2. Calculer I, puis J

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