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Devoir n˚7
I) 8 points
Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par f (x) = 1 − e
−xx + e
−x. On pose, pour tout n entier naturel, v
n=
Z
n+1n
f (x) dx. On admettra que f est crois- sante jusqu’à l’abscisse α ≈ 1, 15 puis décroissante, avec une limite 0 en +∞.
1. a) Démontrer, sans calculer v
n, que pour tout n > 2, f (n + 1) 6 v
n6 f (n).
b) En déduire le sens de variation de (v
n) pour n > 2.
2. a) Déterminer une primitive de f sur [0; +∞[.
b) Soit s
n= v
0+ v
1+ v
2+ · · · + v
n. Déterminer la formule exacte de s
nII) 5 points
Soit f et g définies sur ] − ∞; 3[ par f (x) = 3
3 − x et g(x) = x + 1.
On vérifiera que f (x) − g(x) = x
2− 2x 3 − x .
On a représenté les courbes de f et g sur la figure (mais on démontrera par le calcul ce dont on aura besoin dans l’exercice).
Calculer, en justifiant, l’aire de la région grisée (région entre les deux courbes).
III) 3 points
Soit f (x) = (x
2− x + 1)e
2x.
Démontrer qu’il existe une primitive de f de la forme F (x) = (ax
2+ bx + c)e
2xet déterminer a, b et c.
IV) 4 points
On rappelle que sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a).
On pose I = Z
π/20
sin(x)
1 + 2 cos(x) dx et J = Z
π/20
