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h . lim = y y − y y f ( h ). ( x ) . =f (0) n , y = f x = x +h.y x = 0 n h f x f ' ( x )= f ( x ) f (0) = 1 f IR Activité d'approche n°1 : Approche de la fonction exponentielle e Chapitre n°5 : Fonction exponentielleObjectifs :

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Chapitre n°5 : Fonction exponentielle Objectifs :

Niveau

C5.a 1 R.O.C:unicité de la fonction exponentielle.

C5.b 1 Connaître et utiliser les variations de la fonction exponentielle.

C5.c 1 Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

C5.d 2 Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

C5.e 1 Maîtrise des propriétés avec la notation ex.

C5.f 1 R.O.C:limites de la fonction exponentielle en -∞ et +∞

C5.g 1 Limites avec la fonction exponentielle.

C5.h 2 Limites avec la fonction exponentielle.

C5.i 1 Équations et inéquations comportant des exponentielles.

C5.j 1 Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle.

Activité d'approche n°1 : Approche de la fonction exponentielle

Léonhard EULER (1707-1783) est un mathématicien suisse à qui nous devons beaucoup de notations mathématiques utilisées de nos jours :

- il fut le premier à écrire f(x) pour désigner l’image de x par la fonction f ;

- il nota i le nombre imaginaire utilisé dans le chapitre des nombres imaginaires - il introduisit la lettre e pour la base de la fonction exponentielle ;

- il utilisa la lettre  pour désigner une somme.

-

Il est l’un des plus grands et des plus complets mathématiciens du XVIIIe siècle. Il fit de nombreuses découvertes en analyse, en calcul infinitésimale, en théorie des graphes, en mécanique, en dynamique des fluides, en optique, en astronomie …

Soit f une fonction dérivable sur IR vérifiant : (1) f(0) = 1 et,

(2) pour tout réel x, f '(x)=f(x). Le but de cette activité est de

représenter une fonction f qui satisfasse à ces deux conditions, en utilisant une suite.

Soit h un nombre réel très petit. On pose :

x0=0 et, pour tout n entier naturel,

xn+1=xn+h.

y0=f (0) et, pour tout n entier naturel, yn=f (xn).

1. Calculer y1 en fonction de f(h).

2. Démontrer que lim

h0

yn+1yn h =yn .

(2)

3. On interprète la relation précédente de la façon suivante : pour h suffisamment petit, yn+1yn

hyn . En déduire une relation qui permette de calculer une valeur approchée de yn+1 en fonction de yn et de h, puis une relation entre f(xn), f(xn+1), et h. Rappeler aussi la relation entre xn, xn+1, et h.

4. Reproduire la page de tableur ci-contre (sur tablette, téléphone, ou PC).

5. Quelle formule faut-il écrire en B3 pour obtenir x1 ? …...

Recopier cette formule jusqu'en B21.

6. Entrer la valeur de y0 en C2. Quelle formule faut-il écrire en C3 pour obtenir une approximation de y1 ?

Recopier cette formule jusqu'en C21.

7. Modifier la valeur de h en D4 et vérifier que cela modifie les valeurs des approximations de yn.

8. En prenant h=0,001, calculer une approximation de f (1) : FIN de l’activité n°1

Cours n°1 :Définition de la fonction exponentielle et propriétés I) Définition de la fonction exponentielle

Propriété n°1 (Unicité et existence de la fonction exponentielle) Il existe une unique fonction f, définie et dérivable sur R , telle que …….=…... et

f(0)=…..

Cette fonction s'appelle la fonction exponentielle et est notée exp. On a donc : pour tout réel x, exp'(x)=………… et exp'(0)=…

Démonstration   (R.O.C.)   :

● L'existence est admise.

● Démonstration de l'unicité :

=> On montre d'abord que f ne s'annule pas sur IR   : ASTUCE : On définit : (x)=f(x)×f(–x).

Alors ' (x) = …...

Donc ' (x) = ….

Donc (x) est constante.

Or (0) =…...=...car f(0)=....

Donc (x) = …... (1)

Supposons qu'il existe a tel que f(a)=0 (2).

Alors (a) = …... = …... ce qui est en contradiction avec (1) .

Donc (2) est impossible. Donc f ne ………

=> On démontre l’Unicité   :

ASTUCE : Soit g une autre fonction telle que g '=g et g(0)=1. Calculons

(

gf

)

' (on

peut définir une telle fonction car f ………..)

...

(3)

...

...

...

Donc

(

gf

)

(x)=...

Or

(

gf

)

(0) =...

Donc : …...………..

...

...

...

...

Propriété n°2

1. La fonction exponentielle est ………... sur IR

2. La fonction exponentielle est ………... sur IR Démonstration   :

D'après la démonstration précédente, f ne s'a... . De plus, f (0) = …... Donc f est …... sur IR .

De plus, comme f ' =f , f ' est aussi …... sur IR . Donc f est …... sur IR.

II) Propriétés de la fonction exponentielle Propriété n°3

Pour tout réel x, exp(−x)= ...

...

Démonstration   :

ASTUCE : On définit : (x)=exp(x)×exp(–x).

D'après la démonstration de la propriété n°1, (x) est constante et vaut 1. D'où la propriété.

Propriété n°4

Pour tous réels a et b, exp(a + b)=...

Démonstration   : On définit : g(x)=exp(x+b)

exp(x)

On calcule la dérivée de g :

...

...

...

(4)

...

...

...

g'(x)=... et g(0)=...………. donc g est ...………… et vaut ... , quelque soit x.

D'où :...

...

...

...

...

Exemple n°1   : Simplifier exp(x+2)

exp(2x) :

...

...

...

...

...

Exemple n°2   :

Étudier les variations de f (x)=exp(x)+2x :

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...…

FIN du cours n°1 Se tester n°1 - C5.1 (sur 6)

Objectifs   :

Niveau 1 2 3 4

C5.a 1 R.O.C : unicité de la fonction exponentielle.

C5.b 1 Connaître et utiliser les variations de la fonction

exponentielle.

(5)

C5.c 1 Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle d'une somme.

(Se tester n°1) - Exercice n° 1

(/3)

Démontrer que la fonction définie et dérivable sur R , telle que f '=f et f(0)=1 est unique.

(Se tester n°1) - Exercice n° 2

(/1)

Simplifier : exp(6x+5) exp(5x)

(Se tester n°1) - Exercice n° 3

(/2)

Étudier les variations de f (x)=exp

(

exp(8)× x

)

+exp(9)× x (on ne s’occupera pas des limites ):

(6)

Résultats 1

er ex : voir cours.

2

ex ème : exp(1x+5). 3

ex ème : croissante sur .

Se tester n°1 - C5.1 (sur 6)

Objectifs   :

Niveau 1 2 3 4

C5.a 1 R.O.C : unicité de la fonction exponentielle.

C5.b 1 Connaître et utiliser les variations de la fonction

exponentielle.

C5.c 1 Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle

d'une somme.

(Se tester n°1) - Exercice n° 4

(/3)

Démontrer que la fonction définie et dérivable sur R , telle que f '=f et f(0)=1 est unique.

(Se tester n°1) - Exercice n° 5

(/1)

Simplifier : exp(6x+8) exp(8x)

(Se tester n°1) - Exercice n° 6

(/2)

Étudier les variations de f (x)=exp

(

exp(6)× x

)

+exp(7)× x (on ne s’occupera pas des limites ):

(7)

Résultats 1

er ex : voir cours.

2

ex ème : exp(−2x+8). 3

ex ème : croissante sur .

Interrogation n°1 Objectifs

C5.a_Niv1 :R.O.C:unicité de la fonction exponentielle.

C5.b_Niv1 :Connaître et utiliser les variations de la fonction exponentielle.

C5.c_Niv1 :Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

(Cours n°1) - Exercice n°7

Ex.1 p.114 Résultats : a.V b.F

Cours n°2 : Exponentielle (propriétés) Propriété n°5

Pour tous réels a et b, exp(a – b)= ...

...

Démonstration

Conséquence des propriétés n°3 et 4

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Propriété n°6

exp(na)=...

Démonstration :

...

...

...

...………..

(8)

...

...

...

...

...

...………..

...

...

...

...

...

...………..

...

...

...

Exemple n°3 Exprimer exp(3x−2)

exp(2x) en fonction de exp(x) :

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...…

FIN du cours n°2 Se tester n°2 - C5_2 (/2)

Objectifs   :

Niveau 1 2 3 4

C5.d 2 Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

(Se tester n°2) - Exercice n° 8

Simplifier exp(7x –1) exp(2x) .

(9)

Résultats

1er ex : exp(5x−1).

Se tester n°2 - C5_2 (/2)

Objectifs   :

Niveau 1 2 3 4

C5.d 2 Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

(Se tester n°2) - Exercice n° 9

Simplifier exp(4x –7) exp(2x) .

(10)

Résultats

1er ex : exp(2x−7).

Interrogation n°2 Objectifs

C5.d_Niv2 :Connaître et utiliser les propriétés de l'exponentielle.

(Cours n°2) - Exercice n°10

Ex.21 p.114 Résultat : 1. 0 2. 0

(Cours n°2) - Exercice n°11

Ex.63 p.115 Résultat :

1. croissante sur ]1 -

2  ; 1 +

2  [ décroissante ailleurs. 2. décroissante sur ]1 -

3  ; 1 +

3  [, croissante ailleurs.

Cours n°3 : notation e^x III) Notation e x

Définition n°1

L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e, c'est à dire exp(1)=e

Pour tout nombre entier n, on a exp(n) = exp(n×1) = [exp(1)]n = en

On étend cette définition aux nombres réels : Définition n°2

Pour tout nombre réel x, l'image de x par la fonction exponentielle se note ex

Les propriétés, déjà démontrées, s'écrivent avec cette notation : Propriété n°7

Soient x, a et b trois nombres réels et n un entier relatif.

1.

(

ex

)

'=....

2. e0=....

3. ea+b=....

4. e−a=...

... et ea−b=...

...

5. ena=....

Exemple n°4   :

Simplifier les expressions suivantes : a. ex×e-x

...

(11)

b.

(

e2x

)

2×

(

e−x

)

3

…...

c. e3x×e4x e2x−1

…...

Exemple n°5   :

Démontrer, pour tout nombre réel x, que ex

1+ex= 1 1+ex

...

...

...

...

...

...

...

...…

FIN du cours n°3 Se tester n°3 - C5_3 (/5)

Objectifs   :

Niveau 1 2 3 4

C5.e 1 Maîtrise des propriétés avec la notation ex.

(Se tester n°3) - Exercice n°12

Simplifier les expressions suivantes : a. (/1)e6x×e-6x :

b. (/1) (e2x) 7 : c. (/2) e5x+1×e4x+8

e9x+3 :

(Se tester n°3) - Exercice n°13

(/1) Démontrer, pour tout nombre réel x, que e7x

1+e7x= 1 1+e−7x

(12)

Résultats 1

ex er : e0x ; e14x ;e0x+6 . 2

ème ex : Résultat donné.

Se tester n°3 - C5_3 (/5)

Objectifs   :

Niveau 1 2 3 4

C5.e 1 Maîtrise des propriétés avec la notation ex.

(Se tester n°3) - Exercice n°14

Simplifier les expressions suivantes : a. (/1)e4x×e-7x :

b. (/1) (e6x) 4 : c. (/2) e8x+4× e3x+7

e9x+7 :

(Se tester n°3) - Exercice n°15

(/1) Démontrer, pour tout nombre réel x, que e4x

1+e4x= 1 1+e−4x

(13)

Résultats 1

ex er : e−3x ; e24x ;e2x+4 . 2

ème ex : Résultat donné.

Interrogation n°3 Objectifs

C5.e_Niv1 :Maîtrise des propriétés avec la notation ex .

(Cours n°3) - Exercice n°16

Ex.67 p.116 Résultat : 1. e7 2. e2x 3. ex.

(Cours n°3) - Exercice n°17

Ex.70 p.116 Résultat :

multiplier numérateur et dénominateur par e-x...

Cours n°4 : Limites de la fonction exponentielle IV) Limites de la fonction exponentielle

Propriété n°8 1. lim

x→+∞ex=... et 2. lim

x→−∞ ex=...

Démonstration   (R.O.C)   : 1. Démonstration de lim

x→+∞ex=...  :

ASTUCE : Soit f(x) = exx. f est définie, continue, et dérivable sur IR . Montrer que f est croissante sur [0;+ ∞[ :

...

...

...

...

En déduire que, pour x

[0;+ ∞[ , ex >x :

...

...

...

...

Conclure :

…...

...

2. Démonstration de lim

x→−∞ex=...

lim

x→−∞ex= lim

x→−∞

1

e−x= lim

x→+∞

1

ex=.....

(14)

Propriété n°9 1. lim

x→+∞

ex

x=.... , 2. lim

x→−∞ xex=... 3. lim

x→0 ex−1

x =... 4. lim

x→+∞

x

ex=.... Démonstration   :

1. Démonstration de lim

x→+∞

ex

x =...  : Soit f(x) = exx2

2 .

Montrer que f est croissante sur [0;+

∞[ : ...

...

...

...

En déduire que, pour x

[0;+ ∞[ , ex> x2 2

...

...

...

...

Conclure :

…...

...

…...

...

…...

...

2. Démonstration de lim

x→−∞ xex=...

xex = x

e−x = – ...

...

...

...

...

...

3. Démonstration de lim

x→0

ex1 x =...

Le nombre dérivé en 0 de la fonction x → ex vaut …... et

...

...

Propriété n°10 (tableau de variation et représentation graphique)

(15)

x – ∞ + ∞

f '(x) ...

f (x)

…..

…..

Exemple n°6

Calculer les limites en –∞et en +∞ de la fonction f définie sur IR par

f (x)=ex x + 1.

...

...

...

...

...

...

Exemple n°7 Calculer lim

x→+∞

ex x−1=...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Exemple n°8 Calculer lim

x→+∞

ex−1 ex+1=...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

(16)

Exemple n°9 Calculer lim

x→0+ ex−1

x2 =...

...

...

...

...

...

...

...

...

...…

FIN du cours n°4 Se tester n°4 - C5_4 (/11)

Objectifs   :

Niveau 1 2 3 4

C5.f 1 R.O.C:limites de la fonction exponentielle en -∞ et +∞

C5.g 1 Limites avec la fonction exponentielle.

C5.h 2 Limites avec la fonction exponentielle.

(Se tester n°4) - Exercice n°18

(/3)

1. (/1) Compléter : 1. lim

x→+∞ex=... et 2. lim

x→−∞ ex=...

2. (/2) Démontrer ces propriétés.

(Se tester n°4) - Exercice n°19

(/3)

Calculer les limites en

et en +∞ de la fonction f définie sur IR par

f (x)=ex – 5x + 5

(Se tester n°4) - Exercice n°20

(/1,5) Étudier la limite en +∞ de g(x) = ex

3x−4 :

(Se tester n°4) - Exercice n°21

(/1,5)

Étudier la limite en +∞ de h(x) = 2ex−2 6ex+5 :

(Se tester n°4) - Exercice n°22

(/2)

Étudier la limite en 0+ de j(x) = 3ex−3 x :

(17)

Résultats

1er ex : 1. Voir cours. 2. Idem.

2

ème ex : lim

x→−∞ f (x)= + ∞. ; lim

x→+∞ f (x)= + ∞. 

3ème ex : lim

x→+∞ g(x) = + ∞. 

4ème ex : lim

x→+∞h(x) = 1 3

5ème ex :lim

x→0+

j(x) = 3.

Se tester n°4 - C5_4 (/11)

Objectifs   :

Niveau 1 2 3 4

C5.f 1 R.O.C:limites de la fonction exponentielle en -∞ et +∞

C5.g 1 Limites avec la fonction exponentielle.

C5.h 2 Limites avec la fonction exponentielle.

(Se tester n°4) - Exercice n°23

(/3)

1. (/1) Compléter : 1. lim

x→+∞ex=... et 2. lim

x→−∞ ex=...

2. (/2) Démontrer ces propriétés.

(Se tester n°4) - Exercice n°24

(/3)

Calculer les limites en

et en +∞ de la fonction f définie sur IR par

f (x)=ex – 2x + 4

(Se tester n°4) - Exercice n°25

(/1,5) Étudier la limite en +∞ de g(x) = ex

4x−6 :

(Se tester n°4) - Exercice n°26

(/1,5)

Étudier la limite en +∞ de h(x) = 3ex−1 7ex+4 :

(Se tester n°4) - Exercice n°27

(/2)

Étudier la limite en 0+ de j(x) = 8ex−8 x :

(18)

Résultats

1er ex : 1. Voir cours. 2. Idem.

2

ème ex : lim

x→−∞ f (x)= + ∞. ; lim

x→+∞ f (x)= + ∞. 

3ème ex : lim

x→+∞ g(x) = + ∞. 

4ème ex : lim

x→+∞h(x) = 3 7

5ème ex :lim

x→0+

j(x) = 8.

Interrogation n°4 Objectifs

C5.f_Niv1 :R.O.C:limites de la fonction exponentielle en -∞ et +∞

C5.g_Niv1 :Limites avec la fonction exponentielle.

C5.h_Niv2 :Limites avec la fonction exponentielle.

(Cours n°4) - Exercice n°28

Ex.19 p.114 Résultat :

1. e2 2. e4 3. e4x 4. e2.

(Cours n°4) - Exercice n°29

Ex.96 p.117 Résultat :

1. –∞ et +∞ 2. –2 et 1. 3. –∞ et 0. 4. –∞ et +∞

Cours n°5 : Équations et inéquations comportant la fonction exponentielle.

V) Équations et inéquations comportant la fonction exponentielle.

Propriété n°11

1. Soient a et b deux expressions. Alors l'équation ea= eb est équivalente à l'équation

…....

2.Soient a et b deux expressions. Alors l'inéquation ea<eb est équivalente à l'inéquation …....

Démonstration   :

La fonction exponentielle est …...

Exemple n°9 Résoudre e–x+7=ex+3 :

...

...

...

...

(19)

Exemple n°10 Résoudre e2–x=1:

...

...

...

...

Exemple n°11 Résoudre e2x +2ex3= 0. :

...

...

...

...

Exemple n°12 Résoudre e2x 1

...

...

...

...…

FIN du cours n°5 Se tester n°5 - C5_5 (/7)

Objectifs   :

Niveau 1 2 3 4

C5.i 1 Équations et inéquations comportant des

exponentielles.

(Se tester n°5) - Exercice n°30

(/1)

Résoudre e–5x+5=e8x+6 :

(Se tester n°5) - Exercice n°31

(/1)

Résoudre e5–6x=1 :

(Se tester n°5) - Exercice n°32

(/3)

Résoudre e2x +7ex – 8 = 0 :

(Se tester n°5) - Exercice n°33

(/2)

Résoudre e2x e 5–5x :

(20)

Résultats 1

er ex : − 1 13. 2

ème ex : 5 6. 3

ème ex : 0. 4

ème ex : ]- ∞ ;5 7[.

Se tester n°5 - C5_5 (/7)

Objectifs   :

Niveau 1 2 3 4

C5.i 1 Équations et inéquations comportant des

exponentielles.

(Se tester n°5) - Exercice n°34

(/1)

Résoudre e–6x+4=e5x+6 :

(Se tester n°5) - Exercice n°35

(/1)

Résoudre e3–2x=1 :

(Se tester n°5) - Exercice n°36

(/3)

Résoudre e2x +6ex – 7 = 0 :

(Se tester n°5) - Exercice n°37

(/2)

Résoudre e2x e 2–7x :

(21)

Résultats 1

er ex : − 2 11. 2

ème ex : 3 2. 3

ème ex : 0. 4

ème ex : ]- ∞ ;2 9[.

Interrogation n°5 Objectifs

C5.i_Niv1 :Équations et inéquations comportant des exponentielles.

(Cours n°5) - Exercice n°38

Ex.23 p.114 Résultat :

1.1 3 2. -

1 4

(Cours n°5) - Exercice n°39

Ex.80 p.116 Résultat :

1. 1 et 4 2. 0 3. pas de solution. 4. -1

Cours n°6 : Exponentielle de fonctions VI) Exponentielle de fonctions

Propriété n°12 (admise)

Soit u une fonction définie, continue et dérivable sur I.

La fonction eu(x) est dérivable sur I et sa dérivée est …...

Exemple n°13

Calculer la dérivée de f(x) = e-x.

...

...

...

Exemple n°14

Calculer la dérivée de f(x) = ex²+x.

...

...

...

Exemple n°15

Calculer la dérivée de f(t) = (3 – t)e.

...

(22)

...

...…

FIN du cours n°6 Se tester n°6 - C5_6 (/4)

Objectifs   :

Niveau 1 2 3 4

C5.j 1 Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle.

(Se tester n°6) - Exercice n°40

(/1)

Calculer la dérivée de f(x) = e-9x+8.

(Se tester n°6) - Exercice n°41

(/1)

Calculer la dérivée de f(t) = e8t²+7t+4

(Se tester n°6) - Exercice n°42

(/2)

Calculer la dérivée de f(b) = (5 – 3b)e7b²+6b+4.

(23)

Résultats

1er ex : f ’(x) = −9e−9x+8. 2

ex ème : f ’(t) = (16t+7)e8t2+7t+4. 3

ex ème : f ’(b) = (27+52b−42b²)e7b2+6b+4.

Se tester n°6 - C5_6 (/4)

Objectifs   :

Niveau 1 2 3 4

C5.j 1 Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle.

(Se tester n°6) - Exercice n°43

(/1)

Calculer la dérivée de f(x) = e-7x+2.

(Se tester n°6) - Exercice n°44

(/1)

Calculer la dérivée de f(t) = e9t²+7t+1

(Se tester n°6) - Exercice n°45

(/2)

Calculer la dérivée de f(b) = (8 4b)e5+9b+8.

(24)

Résultats

1er ex : f ’(x) = −7e−7x+2. 2

ex ème : f ’(t) = (18t+7)e9t2+7t+1. 3

ex ème : f ’(b) = (68+44b−40b²)e5b2+9b+8.

Interrogation n°6 Objectifs

C5.j_Niv1 :Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle.

(Cours n°6) - Exercice n°46

Ex.47 p.115 Résultats :

1. +∞ et 0 2. 0 et +∞

(Cours n°6) - Exercice n°47

Ex.130 p.119 Résultats :

1. croissante sur R. 2.a. par recurrence. 2.b. par recurrence 2.c. croissante et majorée par 3 , donc elle converge.

(Cours n°6) - Exercice n°48

Sujet B p.127 Résultats :

P.A.1. décroissante sur ]–∞;-2] et croissante sur ]-2 ;+∞[. lim

x+∞ f (x)=0 et lim

x+∞ f (x)=+∞ 2.

P.B.1.a. affine. b. (-1;0) et (0;1).

ils appartiennent à ck.

2. ck+1 est au dessus de ck sur ]–∞;-1] et sur ]0 ;+∞]. ck+1 est en dessous de ck sur

[-1;0] 3.a. f'k(x) est du signe de kx + k +1.

3.b. Si k>0,fk est décroissante sur

] – ∞ ; −k−1

k ] et fk est croissante sur

]−k−1

k ; +∞[. Si k<0,fk est croissante sur ] – ∞ ; −k−1

k ] et fk est décroissante sur ]−k−1

k ; +∞[.

(Cours n°6) - E xercice n°4 9

Sujet C p.127 Résultats : P.A.1. ex=1

x . 2.a. strictement croissante sur R. 2.b.lim

x−∞ f (x)=−∞ et lim

x+∞ f (x)=+∞

(25)

… 2.c. α ∈ [1

2 ;1] 2.d. f(x)<0 sur [0 ;α].

P.B.1. f(x)=0. 2. g(α)=α. 3. g est croissante sur [0 ;α]. P.C.1. récurrence. 2. la suite est croissante et majorée par α, doncconvergente. 3. Correctif : il faut calculer u4 à 10–6

près à la question b., pas à la question a. b. u4 0,567143.

(26)

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