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1. Soit α ∈ R et soit f la fonction d´ efinie par f (x) = 0 si x ≤ 0 et f(x) = x α si x > 0.

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

L3 MAPI3 2014–2015

TD 6. Int´ egration et Probabilit´ es

1 Int´ egrabilit´ e

On se place dans l’espace mesur´ e ( R , B( R ), λ) o` u λ d´ esigne la mesure de Lebesgue.

1. Soit α ∈ R et soit f la fonction d´ efinie par f (x) = 0 si x ≤ 0 et f(x) = x α si x > 0.

Existe-t-il un r´ eel p tel que f ∈ L p ( R ) ?

2. Soit f la fonction d´ efinie par f (x) = 0 si x ≤ 0, f(x) = x −1/3 si 0 < x ≤ 1 et f (x) = x −1 si x > 1. Existe-t-il un r´ eel p tel que f ∈ L p ( R ) ?

3. Soit α ∈ R et soit f la fonction d´ efinie par f (x) = 1 [−1,1] (x)|x| −α .

D´ emontrer que f ∈ L p si, et seulement si, αp < 1 et en d´ eduire que, pour des r´ eels p 1 et p 2 tels que 1 ≤ p 1 < p 2 < ∞, il existe des fonctions dans L p

1

et pas dans L p

2

.

4. Soit α ∈ R et soit f la fonction d´ efinie par f (x) = 1 ]−∞,−1[∪]1,+∞[ (x)|x| −alpha . D´ emontrer que f ∈ L p si, et seulement si αp > 1 et en d´ eduire que, pour des r´ eels p 1 et p 2 tels que 1 ≤ p 1 < p 2 < +∞, il existe des fonctions dans L p

2

et pas dans L p

1

.

2 saucissonnage

Soit (E, A, µ) un espace mesur´ e o` u µ est de masse totale finie. Soit f une fonction r´ eelle mesurable. On pose, pour tout n ∈ N :

E n := {x ∈ E : n ≤ |f(x)| < n + 1}.

1. D´ emontrer que f est int´ egrable si, et seulement si,

X

n

nµ(E n ) < +∞.

2. D´ emontrer que f est dans L p pour 1 ≤ p < +∞ si, et seulement si,

X

n

n p µ(E n ) < +∞.

3. En d´ eduire que si f est dans L p , alors f est dans L r pour tout 1 ≤ r ≤ p.

3 Cauchy contre Schwartz

Soit (E, A, µ) un espace mesur´ e.

1. Soient f et g deux fonctions mesurables positives de E dans R + telles que f g ≥ 1.

Montrer que

Z f dµ

Z

gdµ ≥ µ(E) 2 .

2. On suppose qu’il existe une fonction int´ egrable f telle que 1/f soit ´ egalement int´ egrable.

Que peut-on dire de la mesure µ ?

(2)

4 Scheff´ e contre Lebesgue

(E, A, µ) un espace mesur´ e, f une fonction int´ egrable et (f n ) une suite de fonctions int´ egrable.

On suppose

n→∞ lim Z

f n dµ = Z

f dµ.

1. Montrer que si les fonctions f n sont positives et si la suite (f n ) converge presque partout vers f , alors (f n ) converge aussi vers f dans L 1 . (Indication : on pourra consid´ erer g n := min(f, f n ) ).

2. Soit (f n ) la suite de L 1 ( R ) d´ efinie par

f n := n1 ]0,1/n[ − n1 ]−1/n,0[ .

Montrer que (f n ) converge vers 0 p.p. et que lim n→∞

R f n (x)dx = 0. La suite (f n )

converge-t-elle vers 0 dans L p (p ≥ 1) ?

Références

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