1. Soit α ∈ R et soit f la fonction d´ efinie par f (x) = 0 si x ≤ 0 et f(x) = x α si x > 0.

L3 MAPI3 2014–2015

TD 6. Int´ egration et Probabilit´ es

1 Int´ egrabilit´ e

On se place dans l’espace mesur´ e ( R , B( R ), λ) o` u λ d´ esigne la mesure de Lebesgue.

1. Soit α ∈ R et soit f la fonction d´ efinie par f (x) = 0 si x ≤ 0 et f(x) = x ^α si x > 0.

Existe-t-il un r´ eel p tel que f ∈ L ^p ( R ) ?

2. Soit f la fonction d´ efinie par f (x) = 0 si x ≤ 0, f(x) = x ^−1/3 si 0 < x ≤ 1 et f (x) = x ⁻¹ si x > 1. Existe-t-il un r´ eel p tel que f ∈ L ^p ( R ) ?

3. Soit α ∈ R et soit f la fonction d´ efinie par f (x) = 1 [−1,1] (x)|x| ^−α .

D´ emontrer que f ∈ L ^p si, et seulement si, αp < 1 et en d´ eduire que, pour des r´ eels p 1 et p ₂ tels que 1 ≤ p ₁ < p ₂ < ∞, il existe des fonctions dans L ^p

et pas dans L ^p

.

4. Soit α ∈ R et soit f la fonction d´ efinie par f (x) = 1 ]−∞,−1[∪]1,+∞[ (x)|x| ^−alpha . D´ emontrer que f ∈ L ^p si, et seulement si αp > 1 et en d´ eduire que, pour des r´ eels p ₁ et p ₂ tels que 1 ≤ p ₁ < p ₂ < +∞, il existe des fonctions dans L ^p

et pas dans L ^p

.

2 saucissonnage

Soit (E, A, µ) un espace mesur´ e o` u µ est de masse totale finie. Soit f une fonction r´ eelle mesurable. On pose, pour tout n ∈ N :

E _n := {x ∈ E : n ≤ |f(x)| < n + 1}.

1. D´ emontrer que f est int´ egrable si, et seulement si,

X

n

nµ(E _n ) < +∞.

2. D´ emontrer que f est dans L ^p pour 1 ≤ p < +∞ si, et seulement si,

X

n

n ^p µ(E _n ) < +∞.

3. En d´ eduire que si f est dans L ^p , alors f est dans L ^r pour tout 1 ≤ r ≤ p.

3 Cauchy contre Schwartz

Soit (E, A, µ) un espace mesur´ e.

1. Soient f et g deux fonctions mesurables positives de E dans R + telles que f g ≥ 1.

Montrer que

Z f dµ

Z

gdµ ≥ µ(E) ² .

2. On suppose qu’il existe une fonction int´ egrable f telle que 1/f soit ´ egalement int´ egrable.

Que peut-on dire de la mesure µ ?

4 Scheff´ e contre Lebesgue

(E, A, µ) un espace mesur´ e, f une fonction int´ egrable et (f _n ) une suite de fonctions int´ egrable.

On suppose

n→∞ lim Z

f _n dµ = Z

f dµ.

1. Montrer que si les fonctions f _n sont positives et si la suite (f _n ) converge presque partout vers f , alors (f _n ) converge aussi vers f dans L ¹ . (Indication : on pourra consid´ erer g _n := min(f, f _n ) ).

2. Soit (f n ) la suite de L ¹ ( R ) d´ efinie par

f _n := n1 _]0,1/n[ − n1 ]−1/n,0[ .

Montrer que (f _n ) converge vers 0 p.p. et que lim n→∞

R f _n (x)dx = 0. La suite (f _n )

converge-t-elle vers 0 dans L ^p (p ≥ 1) ?