Corrigé Devoir maison n°4 N° 8 p 152 (Annales Nathan 2007) :
On considère f définie sur
[
0;2]
par : f x=sin[
x E
x ] si x≠0 et f 0=0.
1. On a tEt1 d'où t−1Et. D'autre part Ett. On a donc, pour tout réel t : t−1Ett.
2. On déduit de la question 1. que pour x≠0 on a
x−1E
x
x ,d'où pour tout x0 x
x−1
x[
E
x ]x
x
soit, pour tout x0 −xx
[
E
x ]
Or limx0−x=0, d'où d'après le théorème d'encadrement lim
x0 x
[
E
x ]=
En conclusion : Par composition lim
x0sin
[
x E
x ]=limXsinX=0=f0
D'où f est continue en 0.
3. Sur]0, 2], E
x
=0⇔0x1⇔x car 0x sur ]0, 2].Sur]0, 2]. Soit k un entier naturel non nul : E
x
=k⇔kxk1⇔k1xkOn en déduit que sur
]
3 ;2]
, on a k=2, d'où f x=sin2x etsur
]
2 ;]
, on a k=1, d'où f x=sinx4. On déduit de la question précédente que sur
]
k1;k]
, on a E
x
=k, d'oùf x=sink x.
On en déduit que sur chaque intervalle
]
k1;k[
, la fonction f est continue car composée de fonctions continues.En
k : sur
]
k1;k]
, on a f x=sinx[
E
x ]=sinkx d'où x limk- f x=0
sur
]
k ;k−1]
, on a f x=sinx[
E
x ]=sink−1x d'où
lim
x k
+ fx=sin
−k
=sin
k
≠0 sik≠1d'où la fonction f n'est continue en aucune valeur
k sauf en
Lycée Dessaignes Page 1 sur 2
5. sur
]
k1;k]
, on a E
x
=k, d'où f x=sink x.On en déduit que sur chaque intervalle
]
k1;k[
, la fonction f est dérivable car composée de fonctions dérivables. D'autre part f n'est dérivable en aucune valeur k si k≠1car elle n'est pas continue en ces valeurs.
Reste la dérivabilité en : lim
x -
f x−f
x− =lim
x+0=0 lim
x +
fx−f
x− =lim
x+
sinx−sin
x− =sin'=cos=−1 D'où f n'est pas dérivable en .
6. D'après la question précédente yk=sin
k
. On déduit que les points Mk
k ; yk
appartiennent à la courbe d'équation y=sinx.
Lycée Dessaignes Page 2 sur 2