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 ] si x≠0 et f 0=0.

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Academic year: 2022

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(1)

Corrigé Devoir maison n°4 N° 8 p 152 (Annales Nathan 2007) :

On considère f définie sur

[

0;2

]

par : f x=sin

[

x E

x

]

si x0 et f 0=0.

1. On a tEt1 d'où t−1Et. D'autre part Ett. On a donc, pour tout réel t : t−1Ett.

2. On déduit de la question 1. que pour x≠0 on a

x−1E

x

x ,

d'où pour tout x0 x

x1

x

[

E

x

]

x

x

soit, pour tout x0 −xx

[

E

x

]



Or limx0−x=0, d'où d'après le théorème d'encadrement lim

x0 x

[

E

x

]

=

En conclusion : Par composition lim

x0sin

[

x E

x

]

=limXsinX=0=f0

D'où f est continue en 0.

3. Sur]0, 2], E

x

=00x1⇔x car 0x sur ]0, 2].

Sur]0, 2]. Soit k un entier naturel non nul : E

x

=kkxk1k1xk

On en déduit que sur

]

3 ;2

]

, on a k=2, d'où f x=sin2x et

sur

]

2 ;

]

, on a k=1, d'où f x=sinx

4. On déduit de la question précédente que sur

]

k1;k

]

, on a E

x

=k, d'où

fx=sink x.

On en déduit que sur chaque intervalle

]

k1;k

[

, la fonction f est continue car composée de fonctions continues.

En

k : sur

]

k1;k

]

, on a f x=sinx

[

E

x

]

=sinkx d'où x limk- f x=0

sur

]

k ;k1

]

, on a f x=sinx

[

E

x

]

=sink1x d'où

lim

x k

+ fx=sin

−k

=sin

k

0 sik1

d'où la fonction f n'est continue en aucune valeur

k sauf en

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(2)

5. sur

]

k1;k

]

, on a E

x

=k, d'où f x=sink x.

On en déduit que sur chaque intervalle

]

k1;k

[

, la fonction f est dérivable car composée de fonctions dérivables. D'autre part f n'est dérivable en aucune valeur

k si k≠1car elle n'est pas continue en ces valeurs.

Reste la dérivabilité en : lim

x -

fx−f 

x− =lim

x+0=0 lim

x +

fx−f

x− =lim

x+

sinx−sin

x− =sin'=cos=−1 D'où f n'est pas dérivable en .

6. D'après la question précédente yk=sin

k

. On déduit que les points Mk

k ; yk

appartiennent à la courbe d'équation y=sinx.

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