 ] si x≠0 et f 0=0.

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(1)

Corrigé Devoir maison n°4 N° 8 p 152 (Annales Nathan 2007) :

On considère f définie sur

[

⁰^;²^

]

^{par :} ^f ^^x^=^sin

[

^{x E}

^

^^x

^ ]

^si^x^≠⁰^et ^f ^⁰^=⁰^.

1. On a tEt1 d'où t−1Et. D'autre part Ett. On a donc, pour tout réel t : t−1Ett.

2. On déduit de la question 1. que pour x≠0 on a ^

x−1E



^^x



^^^x ^,

d'où pour tout x0 x



^^x⁻¹



^^x

[

^

^^x

^ ]

^^x

^

^^x

^

soit, pour tout x0 −xx

[

^

^^x

^ ]

^

Or ^lim_x0^−^x^=⁰, d'où d'après le théorème d'encadrement lim

x0 x

[

^

^^x

^ ]

^=

En conclusion : Par composition lim

x0sin

[

^{x E}

^

^^x

^ ]

⁼^lim^X^^sin^X⁼⁰⁼^f^⁰^

D'où f est continue en 0.

3. Sur_]0, 2], E



^^x



⁼⁰^⇔⁰^^^x^¹^⇔^x^car⁰^^^x ^sur^]^{0, 2}^]^.

Sur_]0, 2]. Soit k un entier naturel non nul : E



^^x



⁼^k^⇔^k^^^x^^k^¹^⇔^k^^¹^^x^^^k

On en déduit que sur

]

^₃ ^;^₂

]

^{, on a}^k⁼²^{, d'où} ^f ^^x^=^sin^²^x^^et

sur

]

^₂ ^;^

]

^{, on a}^k⁼¹^{, d'où} ^f ^^x^=^sin^x

4. On déduit de la question précédente que sur

]

_k^_₁^;^_k

]

^{, on a} ^E



^^x



⁼^k^{, d'où}

f x=sink x.

On en déduit que sur chaque intervalle

]

_k^_₁^;^_k

[

, la fonction f est continue car composée de fonctions continues.

En ^

k : sur

]

_k^_₁^;^_k

]

^{, on a} ^f ^^x^=^sin^x

[

^

^^x

^ ]

⁼^sin^^kx^^d'où ^{x }^lim^k^- ^f ^^x^=⁰

sur

]

^_k ^;_k^₋₁

]

^{, on a} ^f ^^x^=^sin^x

[

^

^^x

^ ]

⁼^sin^^k⁻¹^^x^^d'où

lim

x k

+ fx=sin



^−^^k



⁼^sin



^^k



^≠^{0 si}^k^≠¹

d'où la fonction f n'est continue en aucune valeur ^

k sauf en _

Lycée Dessaignes Page 1 sur 2

(2)

5. sur

]

_k^_₁^;^_k

]

^{, on a}^E



^^x



⁼^k^{, d'où} ^f ^^x^=^sin^^{k x}^^.

On en déduit que sur chaque intervalle

]

_k^_₁^;^_k

[

, la fonction f est dérivable car composée de fonctions dérivables. D'autre part f n'est dérivable en aucune valeur ^

k si k≠1car elle n'est pas continue en ces valeurs.

Reste la dérivabilité en _ : lim

x ^-

f x−f 

x− =lim

x⁺0=0 lim

x ⁺

fx−f

x− =lim

x⁺

sinx−sin

x− =sin'=cos=−1 D'où f n'est pas dérivable en _.

6. D'après la question précédente y_k=sin



^^k



. On déduit que les points M_k



^^k ^{; y}^k



appartiennent à la courbe d'équation y=sinx.

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