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Pour tout x ∈ [0, +∞[ , on considère 1 les suites (f n (x)) n∈N dénies par : f 0 (x) = 0 et ∀n ∈ N : f n+1 (x) = f n (x) + 1

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

MPSI B Année 2016-2017 Énoncé DM 6 pour le 8/12/16 19 décembre 2019

Exercice

Pour tout x ∈ [0, +∞[ , on considère 1 les suites (f n (x)) n∈N dénies par : f 0 (x) = 0 et ∀n ∈ N : f n+1 (x) = f n (x) + 1

2 (e −2x − f n 2 (x)) 1. a. Montrer que, pour tout x positif ou nul

e −x − f n+1 (x) = (e −x − f n (x))ϕ n (x) avec ϕ n (x) = 1 − 1

2 e −x − 1 2 f n (x) b. Montrer que 0 ≤ f n (x) ≤ e −x pour tout x positif ou nul et tout entier n . Montrer

que la suite (f n (x)) n∈N est convergente et préciser sa limite.

2. On pose u n = 1 − f n (0) pour tout entier n . Montrer que u n = 2 1−2

n

Problème

Dans tout le problème, f désigne une fonction dénie dans un segment [a, b] avec a < b . On dénit une partie de R notée V f ([a, b]) par : un réel v appartient à V f ([a, b]) si et seulement si il existe un entier n ≥ 1 et une famille de réels (c 0 , c 1 , · · · , c n ) telle que

a = c 0 < c 1 < · · · < c n = b et v =

n−1

X

k=0

|f (c k+1 ) − f (c k )| .

On dit que v est la variation de f entre a et b attachée à (c 0 , c 1 , · · · , c n ) . On dit que f est à variations bornées sur [a, b] si et seulement si V f ([a, b]) est majoré. On note alors

V f ([a, b]) = sup(V f ([a, b])) ( appelée variation totale de f sur [a, b] . )

I. Exemples et propriétés.

1. Montrer que |f (b) − f (a)| ∈ V f ([a, b]) . Justier la dénition de V f ([a, b]) pour f à variations bornées.

2. a. Si f est constante, est-elle à variations bornées sur [a, b] ? Que vaut V f ([a, b]) ?

1

d'après E3A PC 2000

b. Soit k > 0 . On suppose que f est k -lipschitzienne. Montrer qu'elle est à variations bornées sur [a, b] avec V f ([a, b]) ≤ k(b−a) . Que peut-on conclure si f ∈ C 1 ([a, b]) ? c. Soit Ω une partie de [a, b] et f dénie par

f(x) =

( 1 si x ∈ Ω 0 si x / ∈ Ω

Donner des propriétés de Ω assurant que f est ou n'est pas à variations bornées.

3. Dans cette question seulement, a = −1 , b = 0 et f est dénie par f (x) =

p |x| cos π

x si x ∈ [−1, 0[

0 si x = 0 a. Montrer que f est continue dans [−1, 0] .

b. Montrer que √

k + 1 − √ k ≤ 1

2 √

k pour tout naturel non nul k . En déduire que

1 + 1

2 + · · · + 1 n

n∈ N

diverge vers +∞ .

c. Montrer que f n'est pas à variations bornées dans [−1, 0] . 4. Soit f et g à variations bornées dans [a, b] et λ ∈ R.

a. Montrer que f est bornée.

b. Montrer que λf , f + g , f g , |f| , sup(f, g) , inf(f, g) sont à variations bornées, indiquer un majorant de la variation totale dans chaque cas.

II. Monotonie et variations.

1. On suppose f monotone sur [a, b] .

a. Que peut-on dire de l'ensemble V f ([a, b]) ? En déduire que f est à variations bornées et préciser sa variation totale.

b. Montrer qu'une fonction somme d'une fonction croissante et d'une fonction dé- croissante est à variations bornées.

2. On suppose que V f ([a, b]) contient un seul élément. Montrer que f est monotone.

3. On suppose que f est à variations bornées sur [a, b] .

a. Soit u et v tels que [u, v] ⊂ [a, b] . Montrer que f est à variations bornées sur [u, v]

et que 0 ≤ V f ([u, v]) ≤ V f ([a, b]) .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai M1606E

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MPSI B Année 2016-2017 Énoncé DM 6 pour le 8/12/16 19 décembre 2019

b. Soit u , v , w tels que a ≤ u < v < w ≤ b . Montrer que V f ([u, v]) + V f ([v, w]) = V f ([u, w])

4. Soit f à variations bornées sur [a, b] . Montrer que les fonctions dénies dans [a, b]

W 1 : x 7→ V f ([a, x]), W 2 : x 7→ V f ([a, x]) − f (x) sont croissantes. Que peut-on en conclure ?

5. Soit f à variations bornées sur [a, b] .

a. Montrer que f continue sur [a, b] entraîne W 1 continue sur [a, b] . b. Montrer que W 1 continue sur [a, b] entraîne f continue sur [a, b] .

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Rémy Nicolai M1606E

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