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Activité d'approche n°1 : Approche de la fonction exponentielle
Léonhard EULER (1707-1783) est un mathématicien suisse à qui nous devons beaucoup de notations mathématiques utilisées de nos jours :
- il fut le premier à écrire f(x) pour désigner l’image de x par la fonction f ;
- il nota i le nombre imaginaire utilisé dans le chapitre des nombres imaginaires - il introduisit la lettre e pour la base de la fonction exponentielle ;
- il utilisa la lettre pour désigner une somme.
- …
Il est l’un des plus grands et des plus complets mathématiciens du XVIIIe siècle. Il fit de nombreuses découvertes en analyse, en calcul infinitésimale, en théorie des graphes, en mécanique, en dynamique des fluides, en optique, en astronomie …
Soit
f
une fonction dérivable surIR
vérifiant : (1)f(0) = 1
et,(2) pour tout réel
x
,f '(x)=f(x)
.Le but de cette activité est de représenter une fonction
f
qui satisfasse à ces deux conditions, en utilisant une suite.Soit
h
un nombre réel très petit. On pose :x
0=0
et, pour toutn
entier naturel,x
n+1=x
n+h.
y
0=f (0)
et, pour toutn
entier naturel, y
n=f (x
n).
1. Calculer
y
1 en fonction def(h).
...
2. Démontrer que
lim
h
→
0y
n+1− y
nh = y
n.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3. On interprète la relation précédente de la façon suivante : pour
h
suffisamment petit,y
n+1− y
nh ≈ y
n. En déduire une relation qui permette de calculer une valeur approchée dey
n+1 en fonction dey
n et deh
, puis une relation en fonction dey
n,x
n etx
n+1....
...
...
...
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...
...
...
4. Reproduire la page de tableur ci-contre (sur tablette).
5. Quelle formule faut-il écrire en B3 pour obtenir
x
1 ?…...
Recopier cette formule jusqu'en B21.
6. Entrer la valeur de
y
0 en C2.Quelle formule faut-il écrire en C3 pour obtenir une
approximation de
y
1 ?…...…
...………...
Recopier cette formule jusqu'en C21.
7. Modifier la valeur de
h
en D4 et vérifier que cela modifie les valeurs des approximations dey
n.8. En prenant
h=0,001
, calculer une approximation def (1) : …...
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