 ] si x≠0 et f 0=0.

Corrigé Devoir maison n°3 N° 8 p 151 (Annales Nathan 2008) :

On considère f définie sur

[

^0;2

]

^{par : f x=sin}

[

^{x E}

^

^x

^ ]

^{si x≠0 et f 0=0.}

1. On a tEt1 d'où t−1Et. D'autre part Ett. On a donc, pour tout réel t : t−1Ett.

2. On déduit de la question 1. que pour x≠0 on a 

x−1E



^x



^{x ,}

d'où pour tout x0 x



^x−1



^x

[

^E

^

^x

^ ]

^x

^

^x

^

soit, pour tout x0 −xx

[

^E

^

^x

^ ]

^

Or lim

x0−x=0, d'où d'après le théorème d'encadrement lim

x0 x

[

^E

^

^x

^ ]

^=

En conclusion : Par composition lim

x0sin

[

^{x E}

^

^x

^ ]

^{=limXsinX=0=f0}

D'où f est continue en 0.

3. Sur]0, 2], E



^x



^{=0⇔0x1⇔x car 0x sur ]0, 2].}

Sur]0, 2]. Soit k∈ℕ^* : E



^x



^{=k⇔kxk1⇔k1xk car x0}

On en déduit que sur

]

^₃ ^;₂

]

^{, on a k=2, d'où f x=sin2x et}

sur

]

^₂ ^;

]

^{, on a k=1, d'où f x=sinx}

4. On déduit de la question précédente que sur

]

_k^_1^;_k

]

^{, on a E}



^x



^{=k, d'où}

f x=sink x.

On en déduit que sur chaque intervalle

]

_k^_1^;_k

[

, la fonction f est continue car composée de fonctions continues.

En 

k : sur

]

_k^_1^;_k

]

^{, on a f x=sin}

[

^{x E}

^

^x

^ ]

^=sinkx

d'où lim

x k

-

f x=0

sur

]

^_k ^;_k^₋₁

]

^{, on a f x=sin}

[

^{x E}

^

^x

^ ]

^{=sink−1x}

d'où lim

x k

+ fx=sin



^−k



^=sin



^k



^{≠0 sik≠1}

Lycée Dessaignes Page 1 sur 3

d'où la fonction f n'est continue en aucune valeur 

k sauf en  5. sur

]

_k^_1^;_k

]

^{, on a E}



^x



^{=k, d'où f x=sink x.}

On en déduit que sur chaque intervalle

]

_k^_1^;_k

[

, la fonction f est dérivable car composée de fonctions dérivables. D'autre part f n'est dérivable en aucune valeur 

k si k≠1car elle n'est pas continue en ces valeurs.

Reste la dérivabilité en  : lim

x ^-

f x−f 

x− =lim

x⁺0=0 lim

x ⁺

fx−f

x− =lim

x⁺

sinx−sin

x− =sin'=cos=−1 D'où f n'est pas dérivable en .

6. D'après la question précédente y_k=sin



^k



. On en déduit que les points M_k



^{k ; yk}



appartiennent à la courbe d'équation y=sinx.

Lycée Dessaignes Page 2 sur 3

Exercice 9 p 152

(Annales Nathan 2008) : On considère f définie par : f=2x−sinx.

1. f 'x=2−cosx.

on a, pour tout x réel, −1cosx1, d'où −1−cosx1 et donc 12−cosx3. On en déduit que, pour tout x réel, f 'x0 et donc que f est strictement croissante sur ℝ .

Pour tout x réel, −1sinx1 d'où −1−sinx1 et donc 2x−12x−sinx2x1. on a lim

x−∞2x1=−∞, d'où par comparaison lim

x−∞ fx=−∞

et lim

x∞2x−1=∞, d'où par comparaison lim

x∞ fx=∞. 2. M_kx , y∈C∩D₁⇔2x−sinx=2x−1⇔sinx=1⇔x=

22k, k∈ℤ. N_kx , y∈C∩D₂⇔2x−sinx=2x1⇔sinx=−1⇔x=−

22k, k∈ℤ Les équations des tangentes en M_k sont

y=f



^22k



^{f '}



^22k



^{x−22k}



soit y=4k−12x−

2−2k et donc les tangentes en M_k ont toutes pour équation :

y=2x−1.

De même les tangentes en ^Nk ont toutes pour équation y=2x1

3. Pour tout x réel, −x∈ℝ et f −x=−2xsinx=−f x. On en déduit donc qu'on passe de la partie de C représentant la restriction de f à ℝ⁺ à la partie de C représentant la restriction de f à ℝ^- par symétrie centrale de centre O.

De plus f x2=2x2−sinx2=f x4. On passe donc de la partie de C représentant la restriction de f à [−;] à la partie de C représentant la restriction de f à

[−2k;2k] par translation de vecteur u2k;4k. 4. Les tracés :

T₀: y=x ;T_: y=3x−

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