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On d´ efinit une fonction f dans ]0, +∞[ par f (x) = x (xx)

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

1.

(Ederiv32.tex)

On d´ efinit une fonction f dans ]0, +∞[ par f (x) = x (x

x

)

Calculer f(x)x f

0

(x)

x

.

2.

(Ederiv23.tex)

Soient x et y des r´ eels strictement positifs, on d´ efinit des fonctions h x et k y par :

h x (y) = x y = k y (x) Calculer h 0 y (x).

3.

(Ederiv61.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de x 7→ ln 1

x + r 1

x 2 + 1

!

4.

(Ederiv34.tex)

Calculer, sous forme factoris´ ee, la d´ eriv´ ee seconde de

(1 + x 3 )

13

5.

(Ederiv48.tex)

Calculer, en x > 0, la d´ eriv´ ee de x 7→ arccos 1 − x 2

1 + x 2

6.

(Ederiv57.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de x 7→

sin x

2 − cos x 2

2

7.

(Ederiv44.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de 1

2 (ln(1 − cos x) − ln(1 + cos x))

8.

(Ederiv63.tex)

Exprimer en fonction de sin x, la d´ eriv´ ee de x 7→ ln(tan x

2 )

9.

(Ederiv47.tex)

Pr´ eciser l’intervalle dans lequel elles sont d´ erivables et calculer les d´ eriv´ ees des fonctions

x 7→ arctan

r 1 − x x

x 7→ arcsin(2x − 1) + 2 arctan

r 1 − x x

10.

(Ederiv21.tex)

Soit f une fonction deux fois d´ erivable dont la d´ eriv´ ee ne s’anulle pas dans un intervalle I. Soit ϕ d´ efinie dans I par

ϕ(x) = x − f (x) f 0 (x) Calculer ϕ 0 (x).

11.

(Eexo12.tex)

Exprimer en fonction de th la d´ eriv´ ee de th

12.

(Eexo107.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de x →

Z x

2

x

dt ln t

13.

(Ederiv45.tex)

Dans quel intervalle la fonction f x 7→ (ln x) ln x

est-elle d´ efinie et d´ erivable ? Pr´ eciser f f(x)

0

(x) 14.

(Ederiv53.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de

x 7→ arcsin 2x 2 1 + x 4

15.

(Ederiv62.tex)

Soit x r´ eel fix´ e, calculer la d´ eriv´ ee de t 7→ sin(x sin(t))

16.

(Ederiv11.tex)

Soit k ∈ N , ´ ecrire l’encadrement de

k + 1 − √ k

obtenu avec l’in´ egalit´ e des accroissements finis appliqu´ ee

`

a √ entre k et k + 1.

(2)

17.

(Ederiv29.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee dans

π 2 , 0 de x → argch( 1

cos x )

18.

(Ederiv18.tex)

Calculer sous forme d’un quotient la d´ eriv´ ee

de 2x + 1

(x 2 + x + 1) 3

19.

(Eexo66.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee d’ordre n de ln(1 + x).

20.

(Ederiv4.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee : sin(2t) sin t

21.

(Ederiv6.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee (x > 1) : ln

x + 1 x − 1

22.

(Ederiv60.tex)

On note cosec la fonction i

0, π 2

i → [1, +∞[

x 7→ 1 sin x

et on admet que cette fonction est bijective. On note arccosec sa bijection r´ eciproque.

Pour x ∈ 0, π 2

, exprimer cosec 0 (x) en fonction de cosec(x). Calculer arccosec 0 (y) pour y > 1.

23.

(Ederiv55.tex)

En remarquant que cos x

1 + sin x = 1 − sin x cos x

exprimer comme une puissance de cos x la d´ eriv´ ee de x 7→ 1

2

sin x

cos 2 x + ln 1 + sin x cos x

24.

(Ederiv15.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de 1 + cos x

sin x

25.

(Ederiv39.tex)

D´ eriver et simplifier 1 + tan θ 1 − tan θ

26.

(Ederiv24.tex)

La fonction z est ` a valeurs complexes, elle est d´ erivable dans R et v´ erifie

z 0 = 1 + z 2

On pose x = Re z et y = Im z, calculer la d´ eriv´ ee de y

1 + |z| 2

27.

(Ederiv64.tex)

Calculer ϕ 0 (−1) avec ϕ d´ efini par : x 7→

n

Y

k=1

k x

28.

(Ederiv16.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de sin x 1 + cos x

29.

(Ederiv7.tex)

En utilisant uniquement la fonction th, calcu- ler la d´ eriv´ ee de :

1 + th t 1 − th t

30.

(Eexo67.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee d’ordre n ≥ 2 de (x 2 + x + 1)e x

31.

(Eexo180.tex)

Soit f une fonction continue sur R , calculer la d´ eriv´ ee de

Z 1

x

f (−t)dt

32.

(Ederiv54.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de x 7→ e x arctan(e x ) − 1

2 ln(1 + e 2x )

(3)

33.

(Ederiv65.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de arctan 1 − x 2

1 + x 2

34.

(Ederiv9.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee : ln

x + p x 2 + 1

35.

(Ederiv51.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de x 7→ arcsin 2x

1 + x 2

36.

(Ederiv46.tex)

Pour k entier naturel non nul, la fonction f k

est d´ efinie par

∀t ∈] − π 2 , π

2 [, f k (t) = sin k t cos k+1 t Exprimer f k 0 avec des fonctions f i .

37.

(Ederiv41.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de 1

2 (ln(1 + sin x) + ln(1 − sin x))

38.

(Ederiv3.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee : (x x ) 2

39.

(Ederiv12.tex)

Une fonction dont la d´ eriv´ ee en a est discon- tinue est-elle d´ erivable en a ?

40.

(Ederiv19.tex)

Soit I et J deux intervalles, f est une fonction C 2 (I). On suppose que f 0 est bijective de I dans J . On note ϕ la bijection r´ eciproque de f 0 . Que vaut ϕ 0 ? 41.

(Ederiv37.tex)

D´ eriver et simplifier

cos x 1 − sin x

42.

(Ederiv14.tex)

Le th´ eor` eme de la limite de la d´ eriv´ ee per- met de montrer qu’une fonction n’est pas d´ erivable en un point. Vrai ou faux ?

43.

(Ederiv49.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de x 7→ arccos 1

√ 1 + x 2

44.

(Ederiv66.tex)

En utilisant uniquement la fonction tan, cal- culer la d´ eriv´ ee de :

1 + i tan t 1 − i tan t

45.

(Ederiv25.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee dans ] − 1, 1[ de x → arcsin 2x

1 + x 2

46.

(Ederiv38.tex)

D´ eriver et simplifier x arctan x − 1

2 ln(1 + x 2 )

47.

(Ederiv35.tex)

Trouver une expression simple de la d´ eriv´ ee de arctan ◦ sh.

48.

(Eexo126.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de x → 2 x + 3 x

49.

(Ederiv52.tex)

Soit λ > 0 r´ eel fix´ e, calculer la d´ eriv´ ee de x 7→ x

2

p x 2 + λ + λ

2 ln(x + p x 2 + λ)

50.

(Eexo182.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee n-ieme de x 1

51.

(Ederiv58.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de x 7→ ln

1

cos x + tan x

52.

(Ederiv43.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de 1

2 (ln(1 − cos x) + ln(1 + cos x))

(4)

53.

(Ederiv5.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee : x arctan x − 1

2 ln(1 + x 2 )

54.

(Ederiv8.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee : x

1x

55.

(Ederiv2.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee : x (x

2

)

56.

(Ederiv30.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de x → x √

1 + x 2 2x 2 + 1

57.

(Ederiv28.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee dans

π 2 , π 2 de x → argth(sin x)

58.

(Ederiv1.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de 2 (x

2

) 59.

(Ederiv56.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de

x 7→ √

x arcsin( √ x) + √

1 − x

60.

(Eexo119.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee n-i` eme de t → t 3 e t

61.

(Eexo179.tex)

Donner une expression factoris´ ee de la d´ eriv´ ee de

Z 2x

x

dt t 2 + t + 1

62.

(Ederiv59.tex)

On note sec la fonction h

0, π 2

h → [1, +∞[

x 7→ 1 cos x

et on admet que cette fonction est bijective. On note arcsec sa bijection r´ eciproque.

Pour x ∈ 0, π 2

, exprimer sec 0 (x) en fonction de sec(x).

Calculer arcsec 0 (y) pour y > 1.

63.

(Ederiv22.tex)

Soient x et y des r´ eels strictement positifs, on d´ efinit des fonctions h x et k y par :

h x (y) = x y = k y (x) Calculer k 0 x (y).

64.

(Ederiv13.tex)

Le th´ eor` eme de la limite de la d´ eriv´ ee permet de montrer qu’une fonction est d´ erivable en un point.

Vrai ou faux ?

65.

(Ederiv50.tex)

Soit f une fonction continue dans R , calculer la d´ eriv´ ee de

x 7→

Z x

0

e x−t f (t) dt

66.

(Ederiv33.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee en x de ln ◦ ln ◦ ln

67.

(Eexo77.tex)

Exprimer la d´ eriv´ ee d’ordre n du produit f g avec la formule de Leibniz.

68.

(Ederiv42.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de 1

2 (ln(1 + sin x) − ln(1 − sin x))

69.

(Ederiv20.tex)

Soit I et J deux intervalles, f est une fonc- tion C 2 (I). On suppose que f 0 est bijective de I dans J . On note ϕ la bijection r´ eciproque de f 0 et φ la fonction d´ efinie dans J par :

φ(y) = yϕ(y) − f (ϕ(y))

Donner une expression simple de φ 0 .

(5)

70.

(Ederiv31.tex)

On d´ efinit une fonction f dans ]0, +∞[ par f (x) = (x x ) x

Calculer f f(x)

0

(x) .

71.

(Ederiv40.tex)

Pour n ∈ N avec n ≥ 2, calculer la valeur en 1 de la d´ eriv´ ee n-i` eme de

t → (t 2 + 2t + 1)e t

72.

(Ederiv17.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de arctan (a tan(bx))

73.

(Ederiv26.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee dans R \ {−1, 1} de x → arctan 2x

1 − x 2

74.

(Eexo181.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee de x x

75.

(Ederiv36.tex)

Exprimer avec une fonction trigonom´ etrique la d´ eriv´ ee de

2 arctan e x

76.

(Ederiv10.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee (x > 1) : ln

x + p x 2 − 1

77.

(Ederiv27.tex)

Calculer la d´ eriv´ ee dans R \] − 1, 1[ de x → arcsin 2x

1 + x 2

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