3. On prouve par r´ ecurrence que pour n ∈ IN∗ et t < 0, la d´ eriv´ ee n-i` eme de f en t s’´ ecrit sous la forme P

Master Enseignement

Compl´ ement disciplinaire 2014-2015

Universit´ e Paris 13

Correction de la fin de l’exo 8

3. On prouve par r´ ecurrence que pour n ∈ IN∗ et t < 0, la d´ eriv´ ee n-i` eme de f en t s’´ ecrit sous la forme P

(t)

t

e

, avec P

un polynˆ ome.

Initialisation : Pour n = 1, le calcul de f

montre que la d´ eriv´ ee premi` ere a la forme cherch´ ee, avec P

= −1.

H´ er´ edit´ e : Supposons que pour un entier n fix´ e, la d´ eriv´ ee n-i` eme a la forme cherch´ ee, et calculons la d´ eriv´ ee n + 1-i` eme.

Le petit calcul de la d´ eriv´ ee n + 1-i` eme (que je n’´ ecris pas dans ce corrig´ e) montre que l’on trouve la bonne forme, o` u P

(t) = t

P

− (2nt + 1)P

(t) (qui est bien un polynˆ ome en t).

Conclusion : Pour tout n ∈ IN∗, on a par le th´ eor` eme de r´ ecurrence que la d´ eriv´ ee n-i` eme de f en t < 0 s’´ ecrit sous la forme P

(t)

t

e

, avec P

un polynˆ ome.

4. La fonction f est C

sur IR

, comme compos´ ee de fonctions C

sur IR

. On prouve par r´ ecurrence que f est infiniment d´ erivable en 0, avec f

(0) = 0, pour k > 0.

Initialisation : On a vu que f

(0) existait et valait 0.

H´ er´ edit´ e : Supposons que pour un entier k fix´ e, f

(0) existe et vaut 0. Montrons que f

(0) existe et vaut 0.

On a directement que f

(0) existe et vaut 0, car f (t) = 0 pour t ≥ 0.

D’autre part, pour t < 0, f

(t) − f

(0)

t − 0 = P

(t)

t

e

en utilisant la question pr´ ec´ edente et l’hypoth` ese de r´ ecurrence. En effectuant (comme pour les questions 1. et 2.) le change- ment de variable X = 1/t (avec X qui tendra vers −∞ quand t tend vers 0 par valeurs n´ egatives), on obtient une expression de la forme Q(X)e

, avec Q(X) une fraction ra- tionnelle. La limite quand X tend vers −∞ est donc nulle, par le th´ eor` eme des croissances compar´ ees. Donc f

(0) existe et vaut 0. Donc f

(0) existe et vaut 0.

Conclusion : La fonction f est infiniment d´ erivable en 0 (avec ses d´ eriv´ ees it´ er´ ees nulles).

La fonction f est donc de classe C

sur IR.

5. Si la fonction f ´ etait d´ eveloppable en s´ erie enti` ere en 0, il existerait un voisinage de 0 sur lequel la fonction serait ´ egale ` a sa s´ erie de Taylor en 0. Or, vu les calculs de la question pr´ ec´ edente, la s´ erie de Taylor en 0 est nulle (f (0) et toutes les d´ eriv´ ees it´ er´ ees ´ etant nulles en 0). La fonction f serait donc la fonction nulle sur un voisinage de 0, ce qui n’est pas le cas (car e

> 0 pour t < 0).

La fonction f n’est donc pas d´ eveloppable en s´ erie enti` ere en 0.