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Etudier la continuit´e de la fonction f :R→R d´efinie par f(0

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Academic year: 2022

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CY Cergy Paris universit´e Novembre 2020

Contrˆole continu 2 - Math´ematiques 1

Dur´ee: 1 heure, les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es

Exercice 1.

Etudier la continuit´e de la fonction f :R→R d´efinie par

f(0) = 0, et f(x) =xcos(1

x), ∀x6= 0.

Exercice 2.

Montrer que l’´equationx5 = 3x2+4 admet au moins une solution dans [0,2].

Exercice 3.

Calculer la d´eriv´ee des fonctions suivantes:

(1)f(x) =ex·sin(x3) (2)g(x) = ln(cos(x))x2+1

(3)h(x) = ln(ln(ln(x)))

Exercice 4.

On consid`ere la fonctionf :R→Rd´efinie par f(x) = 6xex2−4x3.

(i) Justifier rapidement quef est continue et d´erivable.

(ii) Calculer f0(x) et v´erifier que f0(x)>0,∀x∈R. (iii) Montrer quef est une bijection deRdans R.

Exercice 5. A l’aide du th´eor`eme des accroissements finis, d´emontrer que

∀n∈N∗,

1 2√

n+ 1 ≤√

n+ 1−√

n≤ 1 2√

n. En d´eduire la valeur de limn→+∞(√

n+ 1−√ n).

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