1. ´ Etudier la fonction de la variable r´ eelle x d´ efinie par : f (x) = ln x x ·

T. D. n ^o 3

Suites num´ eriques. Limite d’une suite num´ erique.

Exercice 1 : D’apr` es le concours d’inspecteur du tr´ esor, ´ epreuve 2, 2004.

1. ´ Etudier la fonction de la variable r´ eelle x d´ efinie par : f (x) = ln x x ·

2. Montrer qu’il y a un unique couple (x, y) d’entiers naturels non nuls tels que : x ^y = y ^x et x < y.

3. Pour tout entier n > 3, on pose : U _n = ^{ln 3} ₃ + ^{ln 4} ₄ + · · · + ^lnn _n · a. Comparer U _n ` a R n+1

3 f (x)dx.

b. En d´ eduire la limite de la suite (U _n ) _n>3 lorsque n tend vers l’infini.

Exercice 2 : D’apr` es le concours d’inspecteur des douanes et droits di- rects, 2007.

On consid` ere la suite (u n ), avec n entier naturel, d´ efinie par : u n+1 = 4u n − 1 et u ₀ = 2. De plus, on pose S _n =

n

X

k=0

u _k . Soit la suite (v _n ) d´ efinie par v _n = u _n − (1/3).

1. D´ eterminer la nature de la suite (v _n ) et donner sa raison.

2. Exprimer v _n , puis u _n en fonction de n.

3. Utiliser le r´ esultat pr´ ec´ edent pour exprimer S _n en fonction de n.

.

Exercice 3 : D’apr` es le concours d’inspecteur de la concurrence, de la consommation et de la r´ epression des fraudes des 10 et 11 avril 2006.

On consid` ere la suite (u _n ) d´ efinie par son premier terme u ₀ et par la relation de r´ ecurrence u _n+1 = √

15 + u _n − 3.

1. Quelle condition u _n doit-il v´ erifier pour que u _n+1 existe ? 2. Dans cette partie, on a u ₀ = 2006.

(i) Montrer par r´ ecurrence que la suite (u _n ) est minor´ ee par 1.

(ii) Montrer par r´ ecurrence que la suite (u _n ) est d´ ecroissante.

(iii) Montrer que la suite (u n ) est convergente et pr´ eciser sa limite.

3. Dans cette partie, on a u ₀ est compris entre -15 et 1 exclu.

(i) Montrer par r´ ecurrence que la suite (u _n ) est major´ ee par 1.

On admet que la suite (u _n ) est croissante.

(ii) Montrer que la suite (u _n ) est convergente et pr´ eciser sa limite.

4. Comment qualifie-t-on cette suite si u ₀ = 1 ? Justifier.

Exercice 4 : D’apr` es le concours d’inspecteur de la concurrence, de la consommation et de la r´ epression des fraudes des 20 et 21 f´ evrier 2007.

Soit a et b deux r´ eels non nuls tels que a + b 6= 0.

On pose u 1 = a + b et, pour n > 1, u n+1 = a + b − ab u _n · 1. On suppose a = b.

(i) Calculer u 1 , u 2 , u 3 en fonction de a.

(ii) En d´ eduire la forme g´ en´ erale de u _n en fonction de n.

(iii) Quelle est la limite de la suite (u _n ) ? 2. On suppose a 6= b.

(i) Montrer par r´ ecurrence que, pour n > 1, on a : u n = a ⁿ⁺¹ − b ⁿ⁺¹ a ⁿ − b ⁿ · (ii) Si a < b , ´ ecrire u _n en fonction de a

b et de n. En d´ eduire la limite de la suite (u _n ).

(iii) Proc´ eder de mˆ eme si a > b.

Exercice 5 : D’apr` es le concours d’inspecteur des impˆ ots, ´ epreuve 3 2007.

Soit P 0 un triangle ´ equilat´ eral de cˆ ot´ e l = l ₀ . On divise chaque cˆ ot´ e en trois segments de mˆ eme longueur l ₁ . On construit sur chaque segment m´ edian un triangle ´ equilat´ eral de cˆ ot´ e l ₁ .

On obtient le polygone P 1 :

On it` ere ind´ efiniment ce processus de construction et on note P n le polygone obtenu apr` es la n−i` eme application du proc´ ed´ e de construction. On note c <sub>n</sub> le nombre de cˆ ot´ es de P n , l <sub>n</sub> la longueur de ses cˆ ot´ es, p <sub>n</sub> son p´ erim` etre et A n son aire.

1. Calculer c n , l n et A n pour n = 0, 1, 2.

2. D´ emontrer que c _n+1 et c _n sont li´ es par une relation de r´ ecurrence, puis en d´ eduire c _n en fonction de n pour tout n ∈ N .

3. D´ emontrer que l _n+1 et l _n sont li´ es par une relation de r´ ecurrence, puis en d´ eduire l n en fonction de n et l pour tout n ∈ N .

4. Calculer p _n en fonction de n et l, puis d´ eterminer lim _n→+∞ p _n . 5. On pose u _n = A n+1 − A n pour tout n ∈ N .

a. Calculer u ₀ = A 1 − A 0 et u ₁ = A 2 − A 1 .

b. D´ emontrer que (u _n ) n∈ N est une suite g´ eom´ etrique de raison ⁴ ₉ , puis cal- culer u n en fonction de n et l pour tout n ∈ N ^∗ .

c. En d´ eduire A n en fonction de n et l pour tout n ∈ N .

6. D´ emontrer que, quel que soit n ∈ N , il existe une infinit´ e de polygones de p´ erim` etres plus grands que 10 ⁿ et d’aires plus petites que 1.

Exercice 6 : D’apr` es le concours d’inspecteur du tr´ esor public, ´ epreuve 2 2005.

Soit a un r´ eel positif donn´ e.

1. Montrez que l’on d´ efinit une suite r´ eelle (u _n ) en posant u ₀ = a et pour tout n ∈ N

u _n+1 = 2 √ u _n 1 + u _n

2. a. Pour quelle(s) valeur(s) de a, la suite (u _n ) est-elle constante ?

b. Pour quelle(s) valeur(s) de a, la suite (u _n ) est-elle convergente ? Pr´ ecisez

la limite ´ eventuelle.

Exercice 7 : D’apr` es le concours d’inspecteur du tr´ esor public, ´ epreuve 2 2005.

1. Une banque propose un placement ` a un taux d’int´ erˆ ets compos´ es de 6% par an. M. Martin place 15000 euros. Calculez la somme dont il disposera dans cinq ans.

2. M. Bernard se voit proposer un placement « dit ` a int´ erˆ ets cumul´ es » qui lui rapporterait 34% sur cinq ans. Indiquez en le justifiant si le placement de M.

Bernard est plus int´ eressant que celui de M. Martin.

3. D´ eterminez le pourcentage moyen annuel du placement propos´ e ` a M. Bernard.

4. Calculez ` a quel taux d’int´ erˆ ets compos´ es aurait dˆ u ˆ etre plac´ e le capital de M.

Bernard pour doubler au bout de cinq ans.

Exercice 8 : Attach´ e statisticien ENSAI, 2008.

Dans tout [cet exercice], a est un r´ eel strictement positif fix´ e. Pour tout x ∈ R , on pose

f _a (x) = a(1 + a ² ) 1 + x ² ·

1. Donner le tableau des variations de f _a et tracer sa courbe repr´ esentative.

2. a. R´ esoudre dans R , l’´ equation f _a (x) = x.

a. R´ esoudre dans R , l’´ equation f _a (x) = a.

3. Dans cette question, on prend a = 1.

a. Calculer f ₁ ◦ f ₁ (x).

b. Montrer que l’´ equation f ₁ ◦ f ₁ (x) = x ´ equivaut ` a une ´ equation de la forme P <sub>1</sub> (x) = 0 o` u P ₁ est un polynˆ ome de degr´ e 5 que l’on calculera.

c. V´ erifier que 1 est racine multiple de l’´ equation P 1 (x) = 0. Quel est son ordre de multiplicit´ e ?

d. R´ esoudre dans R , l’´ equation f ₁ ◦ f ₁ (x) = x.

Dans toute la suite, on consid` ere une suite r´ ecurrente (u _n ) _n>0 d´ efinie par u > 0 donn´ e et u _n+1 = f _a (u _n ) pour tout n ∈ N . On posera enfin pour tout n ∈ N , v _n = u _2n et w _n = u _2n+1 .

4. a. Montrer que les deux suites (v _n ) et (w _n ) sont monotones et que l’une de ces deux suites est croissante et l’autre est d´ ecroissante.

b. Montrer que tous les termes de l’une de ces deux suites sont sup´ erieurs ou ´ egaux ` a a et que tous les termes de l’autre suite sont inf´ erieurs ou

´ egaux ` a a.

c. Montrer que les deux suites (v _n ) et (w _n ) sont convergentes.

5. Dans cette question, on prend a = 1.

a. Montrer que les deux suites (v _n ) et (w _n ) convergent vers une mˆ eme limite

b. Que peut-on en d´ eduire pour la suite (u _n ) ? 6. Dans cette question, on suppose que a > 1.

a. Calculer f _a ⁰ (a).

b. En d´ eduire qu’il existe δ > 0 tel que :

∀x ∈ [a − δ; a + δ], |f _a ⁰ (x)| > 1.

c. On suppose, dans cette de la question, que la suite (u _n ) converge. Montrer qu’il existe n ₀ ∈ N tel que

∀n > n ₀ , u _n ∈ [a − δ; a + δ] et |u _n − a| > |u _n

− a|.

d. En d´ eduire que la suite (u n ) converge vers a si et seulement si u 0 = a.

7. On suppose maintenant que 0 < a < 1.

a. Calculer f _a ◦ f _a (x).

b. Montrer que l’´ equation f _a ◦ f _a (x) = x ´ equivaut ` a une ´ equation de la forme P a (x) = 0 o` u P a est un polynˆ ome de degr´ e 5 que l’on calculera.

c. Montrer qu’il existe un polynˆ ome Q _a de degr´ e 4 tel que P _a (x) = (x − a)Q _a (x).

d. ´ Etudier les variations de Q _a (x) pour x > a et montrer que l’´ equation f _a ◦ f _a (x) = x poss` ede une seule racine r´ eelle sup´ erieure ou ´ egale ` a a.

e. Montrer, en utilisant les r´ esultats de la question 4., que la suite (u n ) converge vers a.

Exercice 9 :

Soient S l’ensemble des suites r´ eelles (u _n ) _{n∈ N} v´ erifiant la relation :

∀n ∈ N , u _n+3 = 2u _n+2 + u _n+1 − 2u _n , et (w n ) n∈ N la suite ´ el´ ement de S telle que

w ₀ = 0, w ₁ = 1, w ₂ = 2.

1. D´ eterminer les racines α, β et γ de l’´ equation x ³ − 2x ² − x + 2 = 0.

2. (i) Montrer que S est un espace vectoriel, puis que les suites (α _n ) n∈ N , (β _n ) n∈ N

et (γ _n ) n∈ N forment une famille libre de S.

(ii) Soit f l’application qui ` a tout ´ el´ ement u de S associe f(u) = (u 0 , u 1 , u 2 ).

Montrer que f est un isomorphisme de S dans R ³ . (iii) En d´ eduire dimS, puis une base de S.

3. En d´ eduire, pour tout n ∈ N , l’expression de w _n en fonction de n.

Exercice 10 : Calcul de limites.

1. Apr` es avoir d´ etermin´ e un ´ equivalent, calculer la limite de la suite 6n ³ + 3n ² + 4n + 1

2n ³ − 5n ² + 3

n∈ N

· 2. D´ eterminer la limite de la suite

√ n + 1 − √ n

n∈ N

.

3. Soit x ∈ R . Montrer que la suite x ⁿ

n!

converge et d´ eterminer sa limite.

4. Soient a et b deux r´ eels strictement positifs. D´ eterminer

n→+∞ lim

1 + a n

bn

·

5. Soit α ∈ R et x ∈]0, 1[. Montrer que

n→+∞ lim n ^α x ⁿ = 0.

6. Soient a et b deux r´ eels positifs tels que a > b. D´ eterminer la limite de la suite (u _n ) n∈ N d´ efinie par :

∀n ∈ N , u _n = a ⁿ⁺¹ + b ⁿ⁺¹ a ⁿ + b ⁿ ·

7. Soient a et b deux r´ eels non nuls. D´ eterminer la limite de la suite (u _n ) dont le terme g´ en´ eral est d´ efini par :

u _n = ln cos ^a _n ln cos _n ^b · 8. (i) D´ emontrer que :

∀x ∈ R ⁺ , x − x ²

2 6 ln(1 + x) 6 x.

(ii) En d´ eduire

n→+∞ lim

n

Y

k=1

1 + k

n ²

·

Exercice 11 : Suites d´ efinies par la relation u _n+1 = f (u _n ). Exemples.

Etudier les suites (t ´ n ) n∈ N , (u n ) n∈ N , (v n ) n∈ N , (w n ) n∈ N d´ efinies par :

1. t ₀ ∈ R ⁻ et : ∀n ∈ N , t _n+1 = t ³ _n + 3t _n − 3,

3. v ₀ ∈ R et : ∀n ∈ N , v _n+1 = v _n − v _n ² ,

4. v ₀ ∈ R et : ∀n ∈ N , w _n+1 = w _n ² − 2w _n + 2.

Exercice 12 : ´ Equivalent de S _n =

n

X

k=1

1 k ·

1. Montrer, ` a l’aide de l’in´ egalit´ e des accroissements finis que :

∀x ∈ R ^∗ , 1

x + 1 6 ln(x + 1) − ln(x) 6 1 x · 2. En d´ eduire un ´ equivalent de S _n =

n

X

k=1

1 k ·

Exercice 13 : Suites d´ efinies par la relation u _n = f(n). Suites adjacentes.

1. Soient (u _n ) _{n∈ N ∗} et (v _n ) _{n∈ N ∗} les suites d´ efinies par :

∀n ∈ N ^∗ , u _n =

n

X

k=1

1

k − ln n et

∀n ∈ N ^∗ , v _n =

n

X

k=1

1

k − ln(n + 1).

(i) Montrer, ` a l’aide de l’in´ egalit´ e des accroissements finis que :

∀k ∈ N ^∗ , 1

k + 1 6 ln(k + 1) − ln(k) 6 1 k ·

(ii) Etudier le sens de variation des suites (u ´ _n ) et (v _n ) et montrer qu’elles sont adjacentes. En d´ eduire qu’elles convergent vers la mˆ eme limite.

2. Soit a un entier naturel et f une fonction continue, positive et d´ ecroissante sur [a, +∞[ telle que lim x→+∞ f (x) = 0. Soient alors (u _n ) _n>a et (v _n ) _n>a les suites d´ efinies par :

∀n ∈ [a, +∞[, u _n =

n

X

k=a

f (k) − Z n

a

f(t)dt et

∀n ∈ [a, +∞[, v _n =

n

X

k=a

f (k) − Z n+1

a

f (t)dt.

(i) Montrer ` a l’aide de l’in´ egalit´ e des accroissements finis que :

∀k ∈ [a, +∞[, f(k + 1) 6 Z k+1

k

f(t)dt 6 f (k).

(ii) Etudier le sens de variation des suites (u ´ _n ) et (v _n ) et montrer qu’elles sont adjacentes. En d´ eduire qu’elles convergent vers la mˆ eme limite.

Exercice 14 : Suites d´ efinies comme solution d’une ´ equation.

Pour tout n ∈ N , on d´ efinit la fonction f _n sur R ⁺ par

∀x ∈ R ⁺ , f _n (x) =

n

X

k=0

x ^k k! − e.

1. Montrer que pour tout n ∈ N ^∗ , f n est strictement croissante sur R ⁺ . En d´ eduire qu’il existe une unique suite (x _n ) n∈ N

d´ efinie par :

f _n (x _n ) = 0.

2. En consid´ erant pour tout n ∈ N ^∗ , f n+1 (x n ) d´ eterminer le sens de variation de (x _n ) n∈ N

.

3. En d´ eduire que la suite (x _n ) n∈ N

converge.