On consid` ere la fonction f d´ efinie pour tout r´ eel x par : f (x) =

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Lyc´ee Dominique Villars TD ECE 2

Variables continues - TD Sujets de concours n

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1 Exercice 1 - EDHEC 2013

On consid` ere la fonction f d´ efinie pour tout r´ eel x par : f (x) =







1 − |x| si x ∈ [−1, 1]

0 sinon 1. (a) Calculer

1

R

0

f (x)dx et en d´ eduire sans calcul

0

R

−1

f(x)dx

(b) V´ erifier que f peut ˆ etre consid´ er´ ee comme une densit´ e de probabilit´ e.

On consid` ere dor´ enavant une variable al´ eatoire X admettant f comme densit´ e.

2. (a) Etablir l’existence de l’esp´ erance de X puis donner sa valeur.

(b) Etablir l’existence de la variance de X puis donner sa valeur.

3. Montrer que la fonction de r´ epartition de X, not´ ee F

_X

est d´ efinie par :

F

_X

(x) =











0 si x < −1 1

2 + x + x

²

2 si −1

6

x

6

0 1

2 + x − x

²

2 si 0 < x

6

1 1 si x > 1

On pose Y = |X| et on admet que Y est une variable al´ eatoire ` a densit´ e. On note F

Y

sa fonction de r´ epartition.

4. (a) Donner la valeur de F

Y

(x) lorsque x est strictement n´ egatif.

(b) Pour tout r´ eel x

>

0, exprimer F

Y

(x) ` a l’aide de la fonction F

X

(c) En d´ eduire qu’une densit´ e de Y est la fonction g d´ efinie par :

g(x) =







2(t − x) si x ∈ [0, 1]

0 sinon

(d) Montrer que Y poss` ede une esp´ erance et une variance et les d´ eterminer.

Exercice 2 - EML 2013

On consid` ere l’application f : IR −→ IR d´ efinie, pour tout t ∈ IR par : f (t) =

−t ln t + t

^1/3

si 0 < t < 1

0 sinon

1. Montrer que f est continue sur ] − ∞; 1[ et sur ]1; +∞[. Est-ce que f est continue en 1?

2. Etablir que l’int´ egrale

+∞

R

−∞

f(t) dt converge et que

+∞

R

−∞

f (t) dt = 1.

3. Montrer que f est une densit´ e.

4. On admet qu’il existe une variable al´ eatoire X ayant f pour densit´ e et on note F sa fonction de r´ epartition.

(a) Calculer, pour tout x ∈]0, 1[, l’int´ egrale

1

R

x

f(t) dt.

(b) Calculer F (x) pour tout x ∈ IR.

(c) Tracer l’allure de la courbe repr´ esentative de F .

1

(2)

Exercice 3 - EML 2011 - Variable al´ eatoire ` a densit´ e conditionn´ ee par une variable al´ eatoire discr` ete

Dans cette partie, on note U une variable al´ eatoire suivant la loi g´ eom´ etrique de param` etre p.

1. Rappeler la loi de U , son esp´ erance et sa variance.

On consid` ere une variable al´ eatoire T telle que : ∀n ∈

N^∗

, ∀t ∈ [0; +∞[ ,

P(U=n)

(T > t) = e

^−nt

. 2. (a) Montrer : ∀t ∈ [0; +∞[ ,

P

(T > t) = p e

^−t

1 − q e

^−t

.

(b) D´ eterminer la fonction de r´ epartition de la variable al´ eatoire T .

(c) En d´ eduire que T est une variable al´ eatoire ` a densit´ e et en d´ eterminer une densit´ e.

3. On note Z = U T.

(a) Montrer : ∀n ∈

N^∗

, ∀z ∈ [0; +∞[ ,

P(U=n)

(Z > z) = e

^−z

.

(b) En d´ eduire que la variable al´ eatoire Z suit une loi exponentielle dont on pr´ ecisera le param` etre.

(c) Montrer : ∀n ∈

N^∗

, ∀z ∈ [0; +∞[ ,

P

((U = n) ∩ (Z > z)) = P (U = n)

P

(Z > z) .

Exercice 4 - loi d’un produit de variables discr` etes/continues

On consid` ere deux variables al´ eatoires X et Y, d´ efinies sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P ) , et ind´ ependantes.

On suppose que X est une variable ` a densit´ e et on note F

_X

sa fonction de r´ epartition.

On suppose par ailleurs que la loi de Y est donn´ ee par

P

(Y = 1) =

P

(Y = −1) = 1

2 . et que X suit la loi

exponentielle de param`etre 1.

L’ind´ ependance de X et Y se traduit par les ´ egalit´ es suivantes, valables pour tout r´ eel x :

P

([X

6

x] ∩ [Y = 1]) =

P

(X

6

x)

P

(Y = 1) et

P

([X

6

x] ∩ [Y = −1]) =

P

(X

6

x)

P

(Y = −1) . On pose Z = XY et on admet que Z est, elle-aussi, une variable al´ eatoire d´ efinie sur (Ω, A,

P).

1. En utilisant le syst` eme complet d’´ ev´ enements {(Y = 1), (Y = −1)}, montrer que la fonction de r´ epartition F

_Z

de la variable al´ eatoire Z est donn´ ee par :

∀x ∈

R

, F

_Z

(x) = 1

2 (F

_X

(x) − F

_X

(−x) + 1) .

2. (a) Montrer que la fonction de r´ epartition F

_Z

de la variable al´ eatoire Z est d´ efinie par : F

Z

(x) =

1 −

¹₂

e

^−x

si x

>

0

1

2

e

^x

si x < 0 (b) En d´ eduire que Z est une variable al´ eatoire ` a densit´ e.

(c) Etablir alors qu’une densit´ e de Z est la fonction f

_Z

d´ efinie pour tout r´ eel x par : f

_Z

(x) = 1

2 e

^−|x|

. (d) Donner la valeur de l’int´ egrale

Z +∞

0

xe

^−x

dx.

(e) Montrer que f

_Z

est une fonction paire et en d´ eduire l’existence et la valeur de E(Z).

3. (a) Donner la valeur de l’int´ egrale

Z +∞

0

x

²

e

^−x

dx.

(b) En d´ eduire l’existence et la valeur de E(Z

²

), puis donner la valeur de la variance de Z.

4. (a) D´ eterminer E(X)E(Y ) et comparer avec E(Z). Quel r´ esultat retrouve-t-on ainsi ? (b) Exprimer Z

²