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Soit X une variable al´eatoire ayant pour densit´e la fonction f:R → R qui est d´efinie par : f(x

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Academic year: 2022

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Probabilit´es-statistiques 2014-2015 Polytech 3A

Interrogation no 2 18 mai 2015 – dur´ee 45 minutes

Les documents, calculatrices et t´el´ephones portables sont interdits.

Ne donnez pas uniquement le r´esultat final sans explication ! Expliquez quels calculs vous faites et pourquoi.

On a le droit de donner un r´esultat avec un calcul non fini (par exemple 37 +187 ou C177 217), ce qui permet de se passer de calculatrice.

Exercice 1.Madame Michel va au march´e chaque semaine. Son heure d’arriv´ee est une variable al´eatoire de loi uniforme entre 8h et 11h. Le fleuriste est pr´esent au march´e entre 10h et 12h.

Quelle est la probabilit´e pour que Madame Michel arrive au march´e quand le fleuriste est l`a ? Exercice 2. Soit X une variable al´eatoire ayant pour densit´e la fonction f:R → R qui est d´efinie par : f(x) =

3x2 si x∈[0,1]

0 si x <0 ou x >1 a) Calculer P(0≤X≤ 12).

b) Rappeler la d´efinition de l’esp´erance pour une variable al´eatoire `a densit´e, puis calculer E(X).

Exercice 3. Une usine fabrique des tablettes de chocolat. On suppose que le poids de chaque tablette (exprim´e en grammes) suit une loi normaleN(m, σ2) avec m= 200 etσ = 10, et que les poids des diff´erentes tablettes sont ind´ependants.

a) SoitN une variable al´eatoire de loi normaleN(0,1). D´eterminert∈Rtel queP(N ≥t) = 0.9.

b) Soit X la variable al´eatoire donnant le poids d’une tablette. Calculer le poids u tel que P(X ≥u) = 0.9 (on pourra exprimer u en fonction de t, mˆeme si on n’a pas su calculer t`a la question pr´ec´edente).

c) L’usine vend des lots de 50 tablettes. On noteX1, . . . , X50les variables al´eatoires donnant le poids de chacune des 50 tablettes d’un lot. SoitZla variable al´eatoire donnant le poids d’un lot.

Exprimer Z en fonction de X1, . . . , X50. Que valent E(Z) et Var(Z) ? Quelle est la loi deZ? Exercice 4. Un employ´e a 3 cl´es permettant d’ouvrir 3 armoires A, B, C. Il veut ouvrir les armoires A et B. Il ne sait pas quelle cl´e ouvre quelle armoire, il doit donc les essayer tour `a tour. Il essaie d’abord les cl´es sur l’armoire A jusqu’`a ce qu’il r´eussisse `a l’ouvrir (il n’essaie pas 2 fois la mˆeme cl´e). Puis il met de cˆot´e la cl´e de A (il reste donc 2 cl´es), et il essaie d’ouvrir l’armoire B de la mˆeme fa¸con.

SoitXla variable al´eatoire donnant le nombre d’essais n´ecessaires pour ouvrir les deux armoires A et B. Quelles sont les valeurs que peut prendreX? D´eterminer la loi de X.

Table (partielle) pour une v.a. N de loi normale N(0,1) t P(0≤N ≤t) P(−t≤N ≤t)

0.68 0.25 0.5

0.84 0.3 0.6

1.04 0.35 0.7

1.32 0.4 0.8

1.65 0.45 0.9

1.96 0.475 0.95

Bar`eme : 4 — 5 — 6 – 5

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