Soit l un entier naturel non nul. Soit X une variable al´ eatoire ` a valeurs dans {1, · · · , l}

Examen de Probabilit´ es 1` ere session-L3 SID Jeudi 21 D´ ecembre 2017

Dur´ ee 2 heures

Notes de cours manuscrites et calculatrices autoris´ ees

1 Discret

Soit l un entier naturel non nul. Soit X une variable al´ eatoire ` a valeurs dans {1, · · · , l}

avec

P (X = j) = Cj, C > 0, j = 1, · · · , l.

1. Que vaut la constante C ?

2. Calculer l’esp´ erance et la variance de X. On rappelle les formules

l

X

i=1

i

= l(l + 1)(2l + 1)

6 et

l

X

i=1

i

= l

(l + 1)

4 .

3. On suppose que l = 3. Soit (X

) une suite de variables i.i.d. de mˆ eme loi que X.

On pose X

:=

P

i=1

X

. Pour n = 100, donner une ´ evaluation des probabilit´ es suivantes :

P (X

≤ 2), P (X

≥ 2.5), P (X

≥ 2.8).

On expliquera soigneusement les m´ ethodes d’approximation.

2 Binochio

2.1 ESA

L’ESA doit donner son avis sur un projet de navette spatiale. L’´ equipement ´ electronique de la navette comporte 3 millions de pi` eces distinctes. Chaque pi` ece a une chance sur 12 millions de tomber en panne, ce qui entraine imm´ ediatement l’explosion de la navette. Que pensez-vous du projet ?

2.2 Hexabingauss

On consid` ere 10000 chiffres hexad´ ecimaux pris au hasard. Calculer la probabilit´ e que le chiffre A apparaisse au plus 580 fois ? au moins 750 fois.

Dans les deux exercices qui pr´ ec` edent, on expliquera soigneusement les m´ ethodes d’approxi- mation.

1

3 Muette or not

On consid` ere une variable al´ eatoire X de loi uniforme sur ]0, 1[.

1. Pr´ eambule. Soit k un entier naturel non nul. Montrer ou admettre que l’int´ egrale R

0

cos(kπx)dx est nulle. Par ailleurs on rappelle les formules de trigonom´ etrie, cos(2θ) = 2 cos

(θ) − 1, (θ ∈ R ),

sin θ = √

1 − cos

θ, (θ ∈ [0, π]).

2. On pose Y := (1 + cos(πX ))/2. Montrer que la densit´ e de Y est f

(y) = 1

π p

y(1 − y) 1

(y).

3. Sans utiliser sa densit´ e, calculer l’esp´ erance et la variance de Y . En d´ eduire les valeurs des int´ egrales suivantes :

Z

0

xdx π p

x(1 − x) et Z

0

x

dx π p

x(1 − x) .

4. Soit z ∈ [0, 1[, montrer que l’´ equation z = 4y(1−y) poss` ede exactement deux solutions y

et y

avec 0 ≤ y

< 1/2 < y

≤ 1. En utilisant la m´ ethode de la fonction muette, en d´ eduire que Y et Z := 4Y (1 − Y ) ont la mˆ eme loi.

2

x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

0.00 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000

0.01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000

0.02 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.03 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.06 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

0.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 1.0000

Fonction de r´epartition de la loiN(0,1) :φ(x) = Z x

−∞

√1

2πe^−12t2 dt. Pourx <0, utiliserφ(x) = 1−φ(−x).

3