Soit n un entier naturel non nul.

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[1 - 3]

Janvier 2006

Soit n un entier naturel non nul.

On considère l’équation ( ) ^E

ⁿ

où a est un réel strictement positif :

( )

1 2

... 0 E

n n n

x + x

⁻

+ x

⁻

+ + − = x a

n

1. Démontrer que ( ) ^E

ⁿ

admet une solution unique ( ) a

n

sur \

^+*

; 2. Montrer que la suite ( ) a

n

est strictement décroissante. Quelle est la

nature de la suite ( ) a

n

? 3. En étudiant lim

_n^{n 1}

n_→+∞

a

⁺

déterminer lim

_n

n_→+∞

a .

Analyse

Les deux premières questions reviennent à étudier les zéros sur \^+* de fonctions polynômes.

La suite de ces zéros converge vers une valeur que l’on calcule à la troisième question.

Résolution

Question 1.

Pour n≥1, on définit la fonction ϕ_n de \ dans \ comme suit :

( )

^{n n1 ...}

x6ϕn x =x +x ⁻ + + −x a

En tant que fonction polynôme, ϕ_n est dérivable sur \ et admet comme dérivée :

( )

¹

( )

²

' ⁿ 1 ⁿ ... 2 1

x6ϕn x =nx ⁻ + n− x ⁻ + + x+ On a : ∀ ∈x \^+,∀ ∈k

{

1; 2;3;...;n−1 ,

}

x^k ≥0. Donc : ∀ ∈x \^+,ϕn^'

( )

x ≥¹. On en déduit que la fonction ϕ_n est strictement croissante sur \⁺. Par ailleurs, ϕ_n est continue sur \⁺ en tant que fonction polynôme.

Enfin, on a : ∀ ∈n `^*,ϕn

( )

⁰ = −a

( )

<⁰ et x^limϕn

( )

x x^lim xⁿ

→+∞ = →+∞ = +∞.

On déduit de ce qui précède que ϕ_n est bijective de \⁺ dans

[

^{− +∞a;}

[

^.

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Janvier 2006

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que pour tout n entier naturel non nul, la fonction ϕ_n s’annule en une seule valeur a_n de \^+*.

Pour tout n entier naturel non nul, la fonction ϕ_n s’annule en une seule valeur a_n de \^+*.

Question 2.

Pour tout n entier naturel non nul, on a :

( ) ( )

( )

1 1 1 1 1

1

0

... ...

n n

n n n n n n n

n n n n n n n n n n n

a

a a a a a a a a a a a a

ϕ

ϕ ₊ ^{+ − + − +}

= =

= + + + + − = + + + + − =

Puisque pour tout n entier naturel non nul, a_n est strictement positif, on en déduit qu’il en va de même pour a_nⁿ⁺¹. Donc : ∀ ∈n `^*,ϕ_n+1

( )

a_n >0.

Comme ϕ_n+1

( )

a_n+1 =0, on a donc : ∀ ∈n `^*,ϕ_n+1

( )

a_n >ϕ_n+1

( )

a_n+1 .

Mais la fonction ϕ_n+1 est strictement croissante sur \⁺ et on en déduit finalement :

*

, _{n n} 1

n a a ₊

∀ ∈` >

Finalement :

La suite

( )

an est donc strictement décroissante.

La suite

( )

an est une suite de termes positifs, elle est donc minorée par 0. Par ailleurs, nous venons de démontrer qu’elle était strictement décroissante. On en déduit qu’elle converge.

La suite

( )

an est convergente.

Question 3.

On a : a_nⁿ+a_nⁿ⁻¹+ +... a_n− =a 0.

D’où, en multipliant par a_n qui est non nul : a_nⁿ⁺¹+a_nⁿ+ +... a_n²−a a. _n =0.

Soit : ¹

(

²

)

0

... . 0

n n

n n n n n n

a ⁺ a a a a a a a a

=

+ + + + − − + − =

Finalement :

( )

1 1 0

n

n n

a ⁺ + − +a a a = (E) Par ailleurs, pour tout entier naturel n non nul, on a : ϕn

( )

¹ = −n a.

On a donc, pour toute valeur du réel a strictement positif : ϕn

( )

¹ >⁰ pour ^n≥E

( )

^{a +1.}

On a alors : a_{E( )a+1}<1 et donc : lim _n 1

n a

→+∞ < .

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[3 - 3]

Janvier 2006

Finalement :

0 lim _n 1

n a

≤ →+∞ <

Il vient alors : lim _n^{n 1} 0

n a ⁺

→+∞ = .

Or, d’après l’égalité (E) obtenue précédemment, on a : ^lim n^{n 1}

(

¹

)

^lim n ⁰

n a ⁺ a a n a

→+∞ + − + × →+∞ = . On en tire, 1+a étant non nul : lim

n 1

n

a a

→+∞ = a + .

lim ⁿ 1

n

a a

→+∞ = a +