Une suite qui converge ves

Une suite qui converge ves

1. Un encadrement de e^x

1.1. ϕ est la fonction définie sur Rparϕ(x) =e^x−(1 +x).Etudier ses varations.

1.2. En déduire que pour tout réelx,1 +x≤e^x (1)

1.3. A partir de(1),démontrer que pour tout réelx <1, e^x≤ 1

1−x (2) 2. Un encadrement du nombre e.

ndésigne un entier naturel non nul.

2.1. Déduire de (1)que µ

1 + 1 n

¶n

≤e.

2.2. Déduire de(2)que e≤ µ

1 + 1 n

¶n+1

.

3. Une suite qui converge vers e.

(u_n) est la suite définie pour tout entiern≥1par : u_n= µ

1 + 1 n

¶n

.

3.1. Démontrer que pour tout entiern≥1 ,0≤e−u_n≤ 3 n. 3.2. En déduire que la suite(un) converge vers e.

3.3. Avec la calculatrice, donner une valeur approchée deu₁₀₀, u₁₀₀₀, u₁₀₀₀₀.

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