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èmeCours : puissances
1 I Puissances d'exposant entier positif
Définition
Soit a un nombre non nul et n un entier positif :
On note " a exposant n" le nombre noté an égal à : an = a × a × a × ……. × a n fois
n s'appelle l' exposant.
Exemples : 63 = 6 × 6 × 6 = 216
(-2)4 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16.
2 3
2
= 2 3×2
3 = 4 9
Cas particuliers Exemples
n = 1 : a1 = a 191 = 19
n = 2 : a² se lit aussi « a au carré » 3² = 3×3 = 9
n = 3 : a3 si lit aussi « a au cube » (-2)3 = (-2)×(-2)×(-2) = 8 Remarque :
Il est utile de connaître les carrés des premiers nombres entiers.
1² = 1 4² = 16 7² = 49 10² = 100 13² = 169 2² = 4 5² = 25 8² = 64 11² = 121 14² = 196 3² = 9 6² = 36 9² = 81 12² = 144 15² = 225 Convention :
Pour a ≠ 0, on vient que a0 = 1.
Exemple : (-7)0 = 1 Attention
• Il ne faut pas confondre 53 = 5×5×5 = 125 et 5×3 = 15 ; donc 53 ≠ 5×3
• Attention au rôle des parenthèses !
(-4)² = (-4)×(-4) = 16 et -4² = -(4×4) = -16 ; donc (-4)² ≠ -4² Puissance et calculatrice
Les puissances de nombres peuvent se calculer à la machine ; il suffit d'utiliser la touche
ou
xy
^
4
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2 II Puissances d'exposant entier négatif
Définition
a désigne un nombre relatif non nul.
n désigne un entier non nul.
a-n désigne l’inverse de an. a-n = 1
an. Exemples :
• 3-2 est l’inverse de 3².
Donc 3-2 = 1 3² = 1
3×3 = 1 9
• (-2)-3 = 1
(-2)-3 = 1
(-2)×(-2)×(-2) = - 1 8 Cas particulier
Pour a ≠ 0, a-1 est l’inverse de a ; donc a-1 = 1 a. Exemple : 3-1 est l’inverse de 3 ; donc 3-1 = 1
3
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3 III Calculer avec des puissances
a) Exemples de calcul
Calcul littéral Exemple numérique
a désigne un nombre relatif a2×a3 = a × a × a × a × a = a5
2 facteurs 3 facteurs 5 facteurs égaux à a
5² × 53 = 5×5×5×5×5 = 55
a désigne un nombre relatif non nul a2
a5 = a×a
a×a×a×a×a = 1
a×a×a = 1
a3 = a-3
(-2)²
(-2)5 = (-2)×(-2)
(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2) = 1
(-2)3 = (-2)-3
b) Règle de priorité
Pour calculer une expression sans parenthèses, on calcule d’abord les puissances.
Exemples
A = 7- 5×4² B = 2×[7 :10² - (-2)3]
A = 7 - 5×16 B = 2×[7 :100 – (-8)]
A = 7 – 80 B = 2×(0,07 + 8)
A = -73 B = 2×8,07
B = 16,14
