Sur la décomposition d'un entier en une somme de puissances huitièmes d'entiers (Problème de Waring)

B ULLETIN DE LA S. M. F.

E ^DM . M ^AILLET

Sur la décomposition d’un entier en une somme de puissances huitièmes d’entiers (Problème de Waring)

Bulletin de la S. M. F., tome 36 (1908), p. 69-77

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SUR LA DÉCOMPOSITION D'UN ENTIER EN UNE SOMME DE PUISSANCES HUITIÈMES D'ENTIERS

(Problème de Waring);

PAR M. EDMOND MAILLET.

I.

On peut se demander, avec Waring, si tout nombre entier N n'est pas, quel que soit N, la somme d'un nombre A", limité et indé- pendant de N, de puissances ^icnïes d'entiers positifs. C'est la une des énigmes historiques de ^Arithmétique, qu'on peut appeler problème de Waring, et qui n'a encore reçu sa solution que pour les petites valeurs de n. On sait que la réponse est affirmative pour /i==2 ( / r ^ 4 i Fermât, Euler, Lagrange), n==4 (J- Liouville),

^===3 et 5 (E. Maillet), et, comme vient de le montrer (1 ) M. Albert Fleck, pour n = 6. Le joli résultat de M. Fleck m'a donné l'idée d'étendre sa méthode, d'une manière convenable, au cas de n == 8.

Les calculs sont assez compliqués, mais enfin ils me permettent d'établir, grâce à des lemmes de Cauchy et de J. Liouville, l'exac- titude de l'hypothèse de Waring pour n = 8.

En terminant, je démontre que k^n-{-\ pour une infinité de valeurs de N : si cette hypothèse est vraie pour une infinité de va- leurs de /i, k croît indéfiniment avec n.

II.

Soient n quantités x\^ x^ . . . , x^ et la somme (i) ïP-^p^-==^(Xi±x^±.Xî±...±.x^ ( p ^ n ) ,

n

obtenue en prenant dans les parenthèses toutes les combinaisons^?

à p de ces n quantités et additionnant dans chaque combinaison

(l ) Math. Ann., t. LXIV, 1907, p. 56i ( où Fon trouve aussi l'historique de la question). J'ai donné un résumé de ma présente Note dans les Comptes rendus, 3o décembre 1907.

xxxvi. 5

— 70 —

les p lettres dont p — i ont été affectées des signes + ou — de tontes les manières possibles. Le nombre des termes obtenus dans le second membre de (i) est ainsi 2^~<C^.

Je développe le second membre de (i). On a, en posant ( ^ )

( A o = ] ^ 5 , • L = = ^ { ^ , M = ^ t ^ , (2) <

( P =2^^ Q =2

^

(3) A/,-! = C£:î A o + C£ZÎ(^L + p f M ) + C^P + C£rtxQ,

avec

/ . 8.7 8.7.6.5 5 . 8.7.6.5 (8!) (4) j ^ - T - ^d-nr^ ^-T-- ^=-Ï6-

C ° = = i , 67*= o pour À - > o .

(1) La méthode que je suis ici est une extension de la méthode de M. Fleck pour l'exposant 6, laquelle est d'ailleurs elle-même, si Fon veut, une modifica- tion et une généralisation des méthodes de Liouville et E. Lucas pour /i == 4. Si

a-MA^-i ==^(^±^±...±^)<, G'= f^^Y (^<7)»

n \ n / on a

i A.g—i . . { i n—1\

^ - â c f e î ^ ^ C - s i ^ T ) -

Fixant, par exemple, n^^et q de façon que (I — 7 ———) solt nu^ ou positif, on en déduit des décompositions variées d'un carré quelconque G'==/2 sous la forme fî= •cr» où <s est une somme de bicarrés, y un entier numérique; tout

y

entier N étant une somme de 4 carrés /2, on déduit de là une décomposition de <pN en une somme de bicarrés, par suite aussi de

< p N - 4 - i ( i = o, i, a, . . . , y — i ) ,

c'est-à-dire de tout entier, puisque l'unité est un bicarré. En particulier, pour ,i==4 et ^ = 2 , ^

G-=/-^.,«

et l'on retrouve une identité connue (E. LUCAS, Nouv. Ami., a' série, t. XVII, 1878, p. 536; FLECK, Sitzungsberichte der Berl, math. Geselischaft, 28 juin ioo5, 2 janvier 1906)-

- 71 - D^aulre part, q u a n d / i ^ 4 ?

G = = /^3•îY==Ao-+-4L-^•6M-+- i 2 P - h 2 4 Q , (5)

= ^ ^ y = = A o 4 - 2 M ,

H

(6) G - + - 2 H = 3 A o - t - - ( X L - + . ( J i M ) 4 - I 2 P - + - 2 4 Q .

Le rapprochement des expressions (3) et (6) montre qu'on peut essayer de mettre G + 2 H sous la forme

(7) G-+-2H=^(poAo+PiAi-h...+^Ay)

(a entier, q^n — i), où po? Pn • • •» ^q sont des nombres ration- nels et positifs qui ne dépendent que de n et q. Il suffira

i

3 X a = ^p,.C;_i, o

<7

4 a = ^P^C^l,

1

^

I 2 X a = T Î T ^ P ^ C ^ J ,

24Xa=^^p,C^;

(8)

on posera

a == (/i - i) (/i — 2).. .(/i-• y),

p,.=Y,.(/i— r — i ) ( / i — r — 2)... (/i- y ).(/-!), P7=Yy.(y!), et les conditions (8) deviennent

^== 3X==^Y^ a i = 4 ( / i — i ) = = ^ Y ^ /¹, ao ==

o i

7

(9) { aa== i 2 ^ ( / i — i ) ( 7 i — ' 2 ) = = ^ Y , . r ( r — i ) ,

==24-(7i-i)(n-2)(7i-3)=^Y,.r(r-i)(r~î),

A' »

0^== 24 -~(71 — l) {n — "^H^

— 72 — oa encore

To4-Yi4-...4-Y.7= 3 . 2 8 = a o ,

Yl 4 - 2 7 2 4 - 3 ^ 3 4 - . . . 4 - O Y y = 4 ( 7 1 — — 1 ) = = Oi,

2 Y 2 4 - 3 . 2 Y 3 4 - . . . 4 - o ( o — l ) Y y = 1(^~ l ) ( ^ — 2 ) ==02,

3 . 2 . i Y 3 - h . . . 4 - o ( o — i ) ( o - - 2 ) Y y

= ^ ( l - - 0 ( ^ — 2 ) ( l - - 3 ) = = 0 3 Î

on en tire, si

Yo=o, R , . = ( r — i ) ( r - 2 ) ( r — 3 ) ( / ' - 4 ) ,

<7

671 ==( 24 OQ— ? 8 a i + 6 a 2 — a 3 ) + V - ï — — ==ri-t-ôi,

5

<7

2 ^ 2 = = ( — 1 2 0 0 4 - 1 2 0 1 — 5 0 2 - ^ - 0 3 ) — V ^ — — — = = r 2 - + - Ô 2 , 5

<7

2^3 = ( 800— 8 0 1 + 4 ^ 2 — — 03)4-^ ^—— ==r3-+- 83, 5

7

6 Y t = ( — 6ao-+- 6 0 1 — 3 0 2 4 - 0 3 ) — V - ï ^ = r 4 4-84,

^^ r — 4

5 OÙ

^(-o'-i?:^

II suffit de disposer de /i, q et des y 5, ..., ^q pris positifs et ra- tionnels pour que yo ya? YS» ^4 soient positifs.

Si Fon prend n = 51,

ri=—21184, r, ==22952, r3=—a4448, r4==26i76.

On peut chercher à rendre positives les expressions r -±- ^i .1 1 4- ————— 4- ————— 9 1 2 —— —————— —— ——————9 ^fa)» p <«>i fa)2

ri — i 7*2 — i ri — 2 /^ — 2 r -4- <x)* . ^ r ^i ^2

'^T^r^TT^

-,^4^,7^4'

pour des valeurs positives rationnelles de û)i et (Oa, avec r, et r^

différents et > 4* 0¹¹ y réussit en prenant (^< ) / • < = = 18, ^2 = 5o, c0( === YI g Ri g ==17.21184, û)2==Y5oR5o== 47-44°? tous les autres y^, avec / * > 4 > étant nuls. D'après (7), (8) et (9), avec ces valeurs numériques on obtient, q étant égal à 5o,

(10) G 4- 2 H = - ( £ i A i - + - £ t A 2 - 4 - £ 3 A 3 - } - e 4 A 4 4 - Ê l 8 A i 8 + £ o o A . 8 o ) »

où les e, £< ont des valeurs numériques fixes indépendantes des Xi et sont entiers positifs. On trouve ainsi, tous calculs faits,

_ 47.220 i _ 79

• ~ 3.28.30.49' 2 6.28.50.49'

-i _ 8 _, _ ____iG.iai____

£3 Ê """ 5-28.5o.49.48' £4 € "'7.23.28.50.49.48.47' _ 33i.64.i8.17.(i3!) ^ 44o

18 "~ 28.(5o.49...33) ' so 49-48.46.28"

L^exactitude de Pidentité (10) peut d'ailleurs se vérifier direc- tement à Faide des relations (3) à (6).

III.

D'autre part, on sait, d'après un lemme de Cauchy (²), rap- proché d'un autre lemme de Liou ville (3), qu'on peut trouver, l et fc étant des nombres impairs positifs donnés quelconques et tels que

( i l ) / 3 A : - 2 - - i < / < / 4 ^ 8 entiers positifs xi satisfaisant à

0 0 6/=^?, 6Â:=--^^.

i i

(1) On réussirait également en prenant /',==i8 et i\ égal à 3g, 4o» • • • ou 49.

On en déduit une série de formules analogues à (10), et de décompositions d'un nombre entier en une somme de puissances huitièmes d'entiers positifs.

(2) Exercices de Mathématiques, t. I, p. 273, Paris, de Bure, 1826; ou LE- GENDRE, Théorie des nombres, 3e édition, t. II, p. 338.

(3) LE BESGUE, Exercices d'Analyse numérique) Paris, Leiber et Faraguet, 1869, p. ii 3; E. MAILLET, Bull. Soc. math., 1895, p. 46.

— 74 —

où 9 peut être pris ^48, mais aussi plus grand, a fortiori, à con- dition d'envisager au besoin quelques valeurs nulles des Xi. On pourra poser, par exemple,

l=3m, k=3mî, 3k = l2^ 32/^2,

où m est un nombre impair absolument quelconque (<) . On aura, en prenant n= 5i dans (5), avec ces valeurs de G et H,

G = 6 t ^ = 64. 3 * w * , H = 6 U 2 = 4 . 3 ^ w S G-+-2H =3^.23(i-+-2.34)/^.

Plus généralement, si x\ == 2^^,

o e

2".6/==]^, 2^.6Â-=]^, 1 1

et, avec ces valeurs de G et H,

G == 6». 3». ( 22^1 )», H = 2 2 . 3 * . ( 2 2 < W ) * ,

G -h 2H = 3*. 2S(i -+- 2.34) (i^m)^

ou

G 4- aH == 3*.2?(i + 2.34)(2^-lw)*.

Tout nombre entier N étant d\ine des formes w, i^m^ 22Î~1 w, il en résulte que toute puissance quatrième d'un entier est de la forme

G + 2 H

y

où ç est un entier numérique indépendant de N et qui divise

34. 27( I + 2 . 34) = < ^ .

Or, on sait (2) que tout entier E est la somme d^un nombre limité de bicarrés. Donc ^E peut se mettre sous la forme d'une somme d\m nombre limité de quantités G -f- aH et, d'après (i) et (10), a^e^E est une somme de quantités 2 Â i , 2^2, ..., c'est-à-dire une somme de puissances huitièmes d'entiers dont le nombre est

(1) (n) a alors lieu quel que soit le nombre impair m.

(²) Voir LE BESGUE, Exercices d'Analyse numérique) p. n3, et, pour l'his- torique, A FLECK, loc. Cit., E. LANDAU, Rendiconti del Circolo mat. di Palermo, t. XXXIII, 1907 (9 décembre 1906).

limité n u m é r i q u e m e n t et indépendamment de E. L'unité étant une puissance huitième d'entier positif, il en est de même de

ou

a^e^E-+-i,. avec i = = i , 2 , . . . , a50^ — i,

c'est-à-dire que :

Tout nombre entier positif N est la somme arithmétique d^un nombre limité indépendamment de N de puissances hui- tièmes de nombres entiers, c. Q. F. D.

IV.

En admettant que pour u n e infinité de valeurs de n l'hypothèse de Waring soit exacte et que tout nombre Nsupérieur à v soit la somme d'au plus A: puissances /i¹⁶¹»®⁸ d'entiers positifs, on peut mon- trer que k croit indéfiniment avec n pour une infinité de va- leurs de N.

Soit

( 1 2 ) N^^4-.r2l4-...-+-a•ï;

on a évidemment ,

3*?^N, a^E^N'1) = = N i .

Or, le nombre des nombres qu'on peut former en addition- nant A: des nombres o, i", 2",..,., N^ est au plus égal au nombre D^ des combinaisons avec répétitions de ces N, + i nombres k à A:, c'est-à-dire à

(Ni 4-1) (Ni ^ 2 ) . . . ( Nj ^ k) ^ ( Ni + k)k k\ = k\ *

Pour qu'on puisse former tout nombre^ N e t > v à l'aide du second membre de (12) il faudra

(^)SN_,.

Ceci sera impossible si

(N1-1-^)*

A-! <N-v,

— 76 — ou, a fortiori, si N étant assez grand,

^(.NL^<.JJ^<(^)''.

Posant N71 == m, il suffît, pour m assez grand,

(/7^-+-•)/•- v ""' ^——/,t > ^

ce qui a lieu évidemment quand a^A'^/i. Donc, si Pnjpolhèse de Waring est exacte pour une valeur de n^ il faut kïn -h i, c^esl-à- dire que k croît indéfiniment avec n, si cette hypothèse est vraie pour une infinité de valeurs de n. c. Q. F. D.

Remarque. — Quand N === 2" — r , 2.2" — i, ..., r. 2" — i < 3"

et M == x^ 4- ^ + ... -(- .r^, il faut évidemment A" ^ 2" — i. Mais celte remarque ne prouve rien pour les grandes valeurs de N, n étant donné.

V.

En terminant,'je ne crois pas inutile de rappeler ici les récents résultats relatifs au problème de Waring : a-l-on

N == a-ç -ha?ç4-...-+-.rî»

quel que soit n? Pour n === 3, gavais trouvé antérieurement qu'il suffit k $ 1 7 : M. Fleck(1) a établi, par une remarque addition- nelle très si m pie à ma démonstration, qu*'il suffit A'^i3. Pôur/i==4, M. Fleck (2) a montré qu'il suffit k S 3g, et M. E. Landau (3) est arrivé à k ^38. Enfin, pour n == 6, M. Fleck obtient k ^2451 : il s'appuie sur l'identité

ôo/i^ 6o(.r} 4- x\ -h a-î -+- a-î)3

=^(.r, ±: ^±3-3)8 + ï^a-i ±: .yî)6 -4- 36^ a?}.

4 ( 4

( * ) Sitzungsberichte der Berl. math. GeseUschaftf loc. cit.

(2) Id.

(3) Loc. cit,

A ce propos, il ne sera pas sans intérêt de remarquer qu'on a en même temps

6on = 6o(.rj 4- a-j -+- x\ -h x\ )

^(a-id^^^+^^i^^+Sô^ç.

4 1 4

II est donc toujours possible, E étant un entier quelconque, de satisfaire à la fois aux deux équations en nombres entiers

P P

6oE3=^y^ 6oE=^^, où ^184.

i i