A490 – Des restes à (con)sommer
Si, pour l'entier k variant de 2 à n, la somme des restes des divisions de (k + 1)³ par k³ est égale à 999 949, que vaut, pour k variant toujours de 2 à n,
Q₁ la somme des restes des divisions de (k + 1)² par k² ? Q₂ la somme des restes des divisions de (k + 1)⁴ par k⁴ ?
Nota: les solutions manuelles sont préférées à celles qui font appel à un tableur ou à un automate.
Solution proposée par Jean Louis Margot
Si , alors est le reste de la division de par C’est le cas si
****** programme maxima ********************
float(solve(k^3- 3*k^2 -3*k -1,k));
(%o1) [k = 1.259921049894873 (0.86602540378444 %i - 0.5) + 1.587401051968199 (- 0.86602540378444 %i - 0.5) + 1.0, k = 1.587401051968199 (0.86602540378444 %i - 0.5)
+ 1.259921049894873 (- 0.86602540378444 %i - 0.5) + 1.0, k = 3.847322101863073]
Donc la somme recherchée est :
S = mod(3^3,2^3)+mod(4^3+3^3)+
S= 3+10+ =13+ =
Si alors , donc , donc
Q1)
Si , alors est le reste de la division de par C’est le cas si
****** programme maxima ********************
%i5) float(solve(k^2 -2*k -1,k));
(%o5) [k = - 0.4142135623731, k = 2.414213562373095]
Donc la somme recherchée est : S = mod(3^2,2^2)+
S= 1+ =1+ = 9992
Q2)
Si , alors est le reste de la division de par
C’est le cas si
****** programme maxima ********************
float(solve(k^4-(4*k^3+6*k^2+4*k+1),k));
(%o9) [k = - 0.49258571550471 %i - 0.4142135623731,
k = 0.49258571550471 %i - 0.4142135623731, k = - 0.45678638313706, k = 5.285213507883245]
Donc la somme recherchée est :
S = mod(3^4,2^4)+
S= 173+ =173+ =
