Université BORDEAUX 1 L2/2013 Algèbre 2
Liste d’exercices no 5 (Réduction de Jordan, premiers pas)
Exercice 1
Soitf un endomorphisme d’unC-espace vectoriel de dimension finien. Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes.
(i) L’endomorphisme f est nilpotent ;
(ii) L’endomorphisme f n’a qu’une valeur propre 0; (iii) Le polynôme caractéristique def estχf(X) =Xn.
Exercice 2
Donner un exemple de matrice deM3(R) n’admettant que0comme valeur propre dansRet non nilpotente.
Exercice 3
Soit M ∈ Mn(C). Montrer que si M et 2M sont semblables, alors M est nilpotente. On pourra utiliser l’exercice 1.
Exercice 4
Soit M ∈ Mn(C). Prouver que M est nilpotente si et seulement si pour tout 1 ≤ k ≤ n, Tr(Mk) = 0.
Exercice 5
1.Soit g l’endomorphisme deR3 de matrice
A=
2 −1 1
−2 1 −1
−6 3 −3
dans la base canonique. DéterminerKerg, Img,Kerg2, Img2 et montrer que Img⊂Kerg.
2. Soit un vecteur w6∈ Kerg. Posons v =g(w). Montrer qu’il existe u ∈Kerg tel que(u, v, w) soit une base de R3. Quelle est la matrice de gdans cette base ?
3. Plus généralement, montrer que sig est un endomorphisme de R3 vérifiant g6= 0 etg2 = 0, il existe une base de R3 dans laquelle la matrice de gest
0 0 0 0 0 1 0 0 0
.
4.Soit h l’endomorphisme deR3 de matrice
B =
−4 2 −3
−5 1 −6 3 −1 3
dans la base canonique. Déterminer Kerh, Imh, Kerh2, Imh2. Montrer que Imh = Kerh2 et Imh2 = Kerh.
5.Soit un vecteurw6∈Kerh2. Posonsv=h(w)etu=h(v). Montrer que (u, v, w) est une base de R3. Quelle est la matrice de h dans cette base ?
6.Plus généralement, montrer que si hest un endomorphisme de R3 vérifiant h2 6= 0 eth3 = 0, il existe une base de R3 dans laquelle la matrice de h est
0 1 0 0 0 1 0 0 0
.
7. Soit f un endomrphisme de R3 de polynôme caractéristique (X−λ)3. Montrer qu’il existe une base de R3 dans laquelle la matrice def a l’une des trois formes suivantes :
λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ
,
λ 0 0 0 λ 1 0 0 λ
,
λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ
.
8.Application : réduire comme précédemment l’endomorphisme ayant dans la base canonique la matrice
C=
2 1 0
1 4 2
1 −1 3
.
Exercice 6
On considère l’endomorphismef deR4ayant pour matrice dans la base canonique la matrice
A=
1 −3 0 3
−2 −6 0 13 0 −3 1 3
−1 −4 0 8
.
1.Calculer les valeurs propres et espaces propres de f.
2.Soit g=f−Id. DéterminerKerg,Kerg2,Kerg3.
3.S’inspirer de l’exercice précédent pour réduiref. On cherchera d’abord à réduiregen prenant un vecteur e4 6∈ Kerg2 et en posante3 =g(e4), e2 =g2(e4). Cela devrait permettre de trouver une base(e1, e2, e3, e4) dans laquellef a pour matrice
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1
.
Exercice 7
On se propose de réduire l’endomorphismegdeR4 ayant pour matrice dans la base canonique la matrice
B =
0 0 −1 2
2 1 1 −1
8 −2 6 −6
2 −1 1 1
.
1.Montrer que χg(X) = (X−2)4.
2.On pose h=g−2Id. Déterminer Kerh,Kerh2. 3.Déterminer un supplémentaire F de Kerh dansR4.
4. Soiente2, e4 deux vecteurs de F linéairement indépendants. On posee1 =h(e2),e3 =h(e4).
Montrer que (e1, e2, e3, e4) est une base deR4.
5.Quelle est dans cette base la matrice de l’endomorphisme g?
